সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : 9×2−16y2−36x−32y−124=0.…’ কুমিল্লা ভিক্টোরিয়া সরকারি কলেজ ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দ্শ্যকল্প-১ হতে পাই, $9x^2-16y^2-36x-32y-124=0$
বা, $9(x^2-4x+4)-16(y^2+2y+1)=124+36-16$
বা, $9(x-2{)}^2-16(y+1{)}^2=144$
বা, $\frac{(x-2{)}^2}{16}-\frac{(y+1{)}^2}{9}=1$ 

$\therefore \frac{(x-2{)}^2}{4^2}-\frac{(y+1{)}^2}{3^2}=1$; যা একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ। 

এটিকে  $\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই 

$\begin{array}{cc}& X=x-2\\ & Y=y+1\\ & a=4\\ & b=3\end{array}$ 

উৎকেন্দ্রিকতা : $c=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{16+9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$ অসীমতটের সমীকরণ : $Y=\pm \frac{b}{a}X$
অর্থাৎ  $y+1=\pm \frac{3}{4}(x-2)$
বা. $4y+4=\pm 3(x-2)$ 

$\therefore \pm 3(x-2)+4y+4=0$ 

ঊপকেন্দ্র : X = 士ae   $Y=0$

বা, $x-2=\pm 4\times \frac{5}{4}$,   $y+1=0$

বা, $x-2=\pm 5$  $\therefore y=-1$

$\therefore x=\pm 5+2=7,-3$ 

$\therefore$ উপকেন্দ্র $(7,-1)$ ও $(-3,-1)$
নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা  $\frac{5}{4}$, অসীমতটের সমীকরণ  $\pm 3(x-2)+4y+4=0$

এবং উপকেন্দ্রদ্বয়  $(7,-1)$ ও $(-3,-1)$.

দেওয়া আছে, উপবৃত্তের উপকেন্দ্র $S(2,-1)$ 
নিয়ামকরেখা MZM' এর সমীকরণ, $2x-y-9=0$$........\left(1\right)$
ধরি, উপবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু  $P^{\prime }(x,y)$. 
উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $SP=e.P^{\prime }M$
বা, $\sqrt{(x-2{)}^2+(y+1{)}^2}=e\cdot \left|\frac{2x-y-9}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}\right|$$........\left(2\right)$
$\left(2\right)$ নং সমীকরণটি $P(1,-2)$ বিন্দুগামী 

$\therefore \sqrt{(1-2{)}^2+(-2+1{)}^2}=e\cdot \left|\frac{2+2-9}{\sqrt{5}}\right|$ 

বा, $\sqrt{1+1}=e\cdot \left|\frac{-5}{\sqrt{5}}\right|$
বा, $\sqrt{2}=e\times \frac{5}{\sqrt{5}}$
বा, $\sqrt{5}e=\sqrt{2}$
$\therefore e=\sqrt{\frac{2}{5}}$
$e$ এর মান $\left(2\right)$নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 

$\sqrt{(x-2{)}^2+(y+1{)}^2}=\sqrt{\frac{2}{5}}\left|\frac{2x-y-9}{\sqrt{5}}\right|$ 

বা, $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=\frac{2(2x-y-9{)}^2}{25}$ [বর্গ করে]
বা, $25(x^2-4x+4+y^2+2y+1)=2(4x^2+y^2+81-4\mathrm{xy}+18y-36x)$
বা, $25x^2+25y^2-100x+50y+125=8x^2+2y^2-72x+36y+162-8xy$

$\therefore 17x^2+23y^2+8xy-28x+14y-37=0$

निর্ণেয় উপবৃত্তের  সমীকরণ, $17x^2+23y^2+8xy-28x+14y-37=0$.