সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : A=[12−225−437−5],B=[3−42−210−1−11]এবং…’ ২০২৬ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& 5& -4\\ 3& 7& -5\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}3& -4& 2\\ -2& 1& 0\\ -1& -1& 1\end{array}\right]$

এবং $C=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$\begin{array}{cc}\therefore AB& =\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& 5& -4\\ 3& 7& -5\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}3& -4& 2\\ -2& 1& 0\\ -1& -1& 1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}3-4+2& -4+2+2& 2+0-2\\ 6-10+4& -8+5+4& 4+0-5\\ 9-14+5& -12+7+5& 6+0-5\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=I_3\end{array}$

আবার, $CD-AB=0$

বা, $CD=AB$

বা, $\mathrm{CD}=I$

$\therefore D=C^{-1}$

এখন, $|C|=\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=1(1-0)=1\ne 0$

$\therefore C^{-1}$ নির্ণয়যোগ্য

$C$ ম্যাট্রিক্সের সহগুণকসমূহ :

$\begin{array}{cc}& A_{11}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1-0=1\\ & A_{12}=-\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=0\\ & A_{13}=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right|=0-0=0\\ & A_{21}=-\left|\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=-(-2-0)=2\\ & A_{22}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1-0=1\\ & A_{23}=-\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 0\end{array}\right|=0\\ & A_{31}=\left|\begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& 0\end{array}\right|=0\\ & A_{32}=-\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right|=0\\ & A_{33}=\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right|=1-0=1\end{array}$

$\begin{array}{cc}& \mathrm{Adj}\left(C\right)={\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ \therefore & C^{-1}=\frac{1}{\left|C\right|}\mathrm{Adj}\left(C\right)=\frac{1}{1}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

নির্ণেয় $D=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$.

দেওয়া আছে, $R=\left[\begin{array}{ccc}(b+c{)}^2& a^2& 1\\ (c+a{)}^2& b^2& 1\\ (a+b{)}^2& c^2& 1\end{array}\right]$

বামপক্ষ $=|R|=\left|\begin{array}{ccc}(b+c{)}^2& a^2& 1\\ (c+a{)}^2& b^2& 1\\ (a+b{)}^2& c^2& 1\end{array}\right|=\left[\begin{array}{ccc}(b+c{)}^2-a^2& a^2& 1\\ (c+a{)}^2-b^2& b^2& 1\\ (a+b{)}^2-c^2& c^2& 1\end{array}\right]$

$$ [ $c_1^{\prime }=c_1-c_2$ প্রয়োগ করে]

$\begin{array}{cc}& =\left|\begin{array}{ccc}(a+b+c)(b+c-a)& a^2& 1\\ (a+b+c)(c+a-b)& b^2& 1\\ (a+b+c)(a+b-c)& c^2& 1\end{array}\right|=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}(b+c-a)& a^2& 1\\ (c+a-b)& b^2& 1\\ (a+b-c)& c^2& 1\end{array}\right|\\ & =(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}-2(a-b)& a^2-b^2& 0\\ -2(b-c)& b^2-c^2& 0\\ (a+b-c)& c^2& 1\end{array}\right|\end{array}$

$$$[r_1^{\prime }=r_1-r_2$ এবৎ $r_2^{\prime }=r_2-r_3$ প্রয়োগ করে $]$

$=(a+b+c)\left|\begin{array}{cc}-2(a-b)& (a+b)(a-b)\\ -2(b-c)& (b+c)(b-c)\end{array}\right|$

$$ [৩য় কলাম সাপেক্ষে বিস্তার করে।

$\begin{array}{cc}& =-2(a+b+c)(a-b)(b-c)\left|\begin{array}{cc}1& (a+b)\\ 1& (b+c)\end{array}\right|\\ & =-2(a+b+c)(a-b)(b-c)(b+c-a-b)\\ & =-2(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)\end{array}$

$=2(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=$ ডানপক্ষ

$\therefore |R|=2(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)$ (প্রমাণিত)