সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: A=(−1+−32)n+(−1−−32)nদৃশ্যকল্প-২: B=|z+8|+|z−8|…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৪ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

$A={\left(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\right)}^n+{\left(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\right)}^n$

আমরা জানি, $\omega =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ग्रक${\omega }^2=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$

$\therefore A=(\omega {)}^n+{\left({\omega }^2\right)}^n={\omega }^n+{\omega }^{2n}$

n এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে, $n=3m$

$\therefore A={\omega }^{3m}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m}={\left({\omega }^3\right)}^m+{\left({\omega }^3\right)}^{2m}=1+1=2$

n এর মান অপর কোনো পূর্ণসংখ্যা হলে, n = 3m+1 ও n = 3m + 2

যখন, $n=3m+1$,

$A=({\omega }^{3m+1}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m+1}$

$={\omega }^{3m}\cdot {\omega }^1+{\left({\omega }^2\right)}^{3m}\cdot {\omega }^2$

$={\left({\omega }^3\right)}^m\cdot \omega +{\left({\omega }^3\right)}^{2m}\cdot {\omega }^2$

$=\omega +{\omega }^2=-1[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

যখন, $n=3m+2$,

$A=(\omega {)}^{3m+2}+{\left({\omega }^2\right)}^{3m+2}$

$={\left({\omega }^3\right)}^m\cdot {\omega }^2+{\left({\omega }^3\right)}^{2m}\cdot {\omega }^4$

$={\omega }^2+\omega$

$=-1[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

সুতরাং n, 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা n অপর কোনো পূর্ণ সংখ্যা হলে A = 2  অথবা -1 [দেখানো হলো]

দেওয়া আছে, $B=|z+8|+|z-8|$যেখানে, $z=x+iy:$

বা, $|z+8|+|z-8|=20$

বা, $|x+iy+8|+|x+iy-8|=20$

বা, $\sqrt{(x+8{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-8{)}^2+y^2}=20$

বা, $\sqrt{(x+8{)}^2+y^2}=20-\sqrt{(x-8{)}^2+y^2}$

বা, $(x+8{)}^2+y^2={\{20-\sqrt{(x-8{)}^2+y^2}\}}^2$

বা, $x^2+16x+64+y^2=400+(x-8{)}^2+y^2-40\sqrt{(x-8{)}^2+y^2}$

বা, $x^2+y^2+16x+64=400+x^2+64-16x+y^2-40\sqrt{(x-8{)}^2+y^2}$

বা, $32x-400=-40\sqrt{(x-8{)}^2+y^2}$

বা, $8(4x-50)=-40\sqrt{(x-8{)}^2+y^2}$

বা, $4x-50=-5\sqrt{(x-8{)}^2+y^2}$

বা, $(4x-50{)}^2=25\left\{\right(x-8{)}^2+y^2\widehat{\}}$

বা, $16x^2-400x+2500=25(x^2-16x+64+y^2)$

বা, $25x^2-400x+1600+25y^2-16x^2+400x-2500=0$

বা, $9x^2+25y^2=900$

বা, $\frac{9x^2}{900}+\frac{25y^2}{900}=1$

বা, $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$

$\therefore \frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{6^2}=1;N$

অর্থাৎ, সঞ্চারপথটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে (দেখানো হলো)