সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:A=[23−12021−20],f(α)=α2−5αদৃশ্যকক্স-২ : β=[3x+2y+zx+2y+3z2x+y+4z]…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 2& 0& 2\\ 1& -2& 0\end{array}\right]$

এবং $f\left(\alpha \right)={\alpha }^2-5\alpha$

$\therefore f\left(A\right)=A^2-5A$

এখন, $f\left(A\right)+4I_3=0$; যেখানে, $I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

বা, $A^2-5A+4I_3=0$

বা, $A^{-1}(A^2-5A+4I_3)=A^{-1}\cdot 0$

বা, $A^{-1}\cdot A^2-5A^{-1}\cdot A+4A^{-1}\cdot I_3=0$

বা, $A^{-1}\cdot A\cdot A-5A^{-1}\cdot A+4A^{-1}\cdot I_3=0$

বা, $I_{3}A-5I_3+4A^{-1}=0[\because A^{-1}A=I$ এবং $A^{-1}\cdot I=A^{-1}]$

বা, $A-5I_3+4A^{-1}=0$

বা, $4A^{-1}=5I_3-A$

বা, $4A^{-1}=5\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 2& 0& 2\\ 1& -2& 0\end{array}\right]$

বা, $4A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 2& 0& 2\\ 1& -2& 0\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}5-2& 0-3& 0+1\\ 0-2& 5-0& 0-2\\ 0-1& 0+2& 5-0\end{array}\right]$

$\therefore A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}3& -3& 1\\ -2& 5& -2\\ -1& 2& 5\end{array}\right]$

নির্ণেয় $A^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}3& -3& 1\\ -2& 5& -2\\ -1& 2& 5\end{array}\right]$.

দেওয়া আছে, $\beta =\left[\begin{array}{ccc}3x+2y+z& x+2y+3z& 2x+y+4z\end{array}\right]$

এবং $\gamma =\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 2\end{array}\right]$

এখন, ${\beta }^T={\gamma }^T$ হলে,

${\left[\begin{array}{ccc}3x+2y+z& x+2y+3z& 2x+y+4z\end{array}\right]}^T$

$={\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 2\end{array}\right]}^T$

বা, $\left[\begin{array}{c}3x+2y+z\\ x+2y+3z\\ 2x+y+4z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right]$

ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে পাই,

$3x+2y+z=3$

$x+2y+3z=-1$

এবং $2x+y+4z=2$

$x,y,z$ এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 1& 4\end{array}\right|$

$=3(8-3)-2(4-6)+1(1-4)$

$=15+4-3=16$

এখন, $D_x=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ -1& 2& 3\\ 2& 1& 4\end{array}\right|$

$=3(8-3)-2(-4-6)+1(-1-4)$

$=15+20-5=30$

$D_y=\left|\begin{array}{ccc}3& 3& 1\\ 1& -1& 3\\ 2& 2& 4\end{array}\right|$

$=3(-4-6)-3(4-6)+1(2+2)$

$=-30+6+4=-20$

এবং $D_2=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 3\\ 1& 2& -1\\ 2& 1& 2\end{array}\right|$

$=3(4+1)-2(2+2)+3(1-4)$

$=15-8-9=-2$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{30}{16}=\frac{15}{8},$

$y=\frac{D_y}{D}=\frac{-20}{16}=-\frac{5}{4}$

এবং $z=\frac{D_z}{D}=\frac{-2}{16}=-\frac{1}{8}$

নির্ণেয় সমাধান, $(x,y,z)=(\frac{15}{8},-\frac{5}{4},-\frac{1}{8})$.