সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: A=(2x+x2)nদৃশ্যকল্প-২: B=(1−9x+20×2)−1…’ রাজশাহী বোর্ড ২০১৭ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A={(\frac{2}{x}+\frac{x}{2})}^n$

এখানে n এর মান বিজোড় সংখ্যা হলে মধ্যপদ থাকবে দুইটি

এবং n এর মান জোড় সংখ্যা হলে মধ্যপদ থাকবে একটি

∴ n এর মান জোড় সংখ্যা শর্তে $A={(\frac{2}{x}+\frac{x}{2})}^n$ এর একটি মধ্যপদ থাকবে।

n = 21 হলে, $A={(\frac{2}{x}+\frac{x}{2})}^{21}$

এখানে, n = 21 যা বিজোড় সংখ্যা। 

∴ বিস্তৃতিতে মধ্যপদ থাকবে দুইটি।

মধ্যপদ দুইটি হবে $(\frac{21-1}{2}+1)$ তম বা 11 তম পদ

এবং $(\frac{21+1}{2}+1)$ তম বা 12 তম পদ

11-তম পদ = 

$\begin{array}{cc}& ={}^{21}{C}_{10}\cdot {\left(\frac{2}{x}\right)}^{21-10}\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{10}\\ & =352716\cdot \frac{2^{11}}{x^{11}}\cdot \frac{x^{10}}{2^{10}}\\ & =352716\cdot \frac{2}{x}=\frac{705432}{x}\end{array}$

12-তম পদ =

$\begin{array}{cc}& ={}^{21}{C}_{11}\cdot {\left(\frac{2}{x}\right)}^{21-11}\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{11}\\ & =352716\cdot \frac{2^{10}}{2^{10}}\cdot \frac{x^{11}}{2^{11}}=352716\cdot \frac{x}{2}=176358x\end{array}$

নির্ণেয় মধ্যপদসমূহের মান $\frac{705432}{x}$ ও 176358 x.

দেওয়া আছে,

$\begin{array}{cc}& B={(1-9x+20x^2)}^{-1}\\ & ={(1-5x-4x+20x^2)}^{-1}\\ & =\left\{1\right(1-5x)-4x(1-5x){\}}^{-1}\\ & =\left\{\right(1-5x\left)\right(1-4x){\}}^{-1}\\ & =\frac{1}{(1-5x)(1-4x)}=\frac{5}{1-5x}-\frac{4}{1-4x}\\ & =5(1-5x{)}^{-1}-4(1-4x{)}^{-1}\\ & =5(1+5^2{x}^2+5^3{x}^3+5^4{x}^4+5^5{x}^5+5^6{x}^6+5^7{x}^7+5^8{x}^8\\ & +5^9{x}^9+5^{10}{x}^{10}+\dots \dots .)-4(1+4^2{x}^2+4^3{x}^3+4^4{x}^4+\\ & 4^5{x}^5+4^6{x}^6+4^7{x}^7+4^8{x}^8+4^9{x}^9+4^{10}{x}^{10}+\dots \dots .)\end{array}$

∴ x⁹ এর সহগ = ${5.5}^9-{4.4}^9=5^{10}-4^{10}$

∴ x⁹ এর সহগ $5^{10}-4^{10}$ (প্রমাণিত)