সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : A…’ আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ ২০২৬ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k},\overrightarrow{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$

এবং $\overrightarrow{C}=\hat{i}+b\hat{j}+3\hat{k}$

$\therefore |\overrightarrow{A}|=\sqrt{2^2+3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$

$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})\cdot (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})=2+6+1=9$

$\overrightarrow{A}$ ভেক্টর বরাবর $\overrightarrow{B}$ ভেক্টরের উপাংশ $=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}{|}^2}\cdot \overrightarrow{A}$

$=\frac{9}{(\sqrt{14}{)}^2}\cdot (2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})$

$=\frac{9}{14}(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})$

$=\frac{9}{7}\hat{i}+\frac{27}{14}\hat{j}-\frac{9}{14}\hat{k}$

$\overrightarrow{A}$ ভেক্টর বরাবর $\overrightarrow{B}$ ভেক্টরের উপাংশ $\overrightarrow{C}$ ভেক্টরের সাথে লম্ব হলে,

$(\frac{9}{7}\hat{i}+\frac{27}{14}\hat{j}-\frac{9}{14}\hat{k})\cdot \overrightarrow{C}=0$

বা, $(\frac{9}{7}\hat{i}+\frac{27}{14}\hat{j}-\frac{9}{14}\hat{k})\cdot (\hat{i}+b\hat{j}+3\hat{k})=0$

বা, $\frac{9}{7}+\frac{27}{14}b-\frac{27}{14}=0$

বা, $\frac{27}{14}b-\frac{9}{14}=0$

বা, $\frac{27}{14}b=\frac{9}{14}$ বা, $b=\frac{9\times 14}{14\times 27}=\frac{1}{3}$

নির্ণেয় মান : $b=\frac{1}{3}$.

দেওয়া আছে, $A(-2,3)$ এবং $B(4,-1)$

$\therefore \mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ, $1-\frac{x+2}{2-4}=\frac{y-3}{3+1}$

বা, $\frac{x+2}{-6}=\frac{y-3}{4}$

বা, $\frac{x+2}{-3}=\frac{y-3}{2}$

বা, $2x+4=-3y+9$

বা, $2x+3y-5=0$ .......... (i)

$O(0,0)$ থেকে (i) নং রেখার লম্ব দূরত্ব $=\frac{|2.0+3.0-5|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{5}{\sqrt{13}}$

$\mathrm{AB}\Vert \mathrm{PQ}$ হওয়ায়, PQ রেখার সমীকরণ, $2x+3y+k=0$

$O(0,0)$ থেকে $PQ$ রেখার লম্ব দূরত্ব $=\frac{|2.0+3.0+k|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{\left|k\right|}{\sqrt{13}}$

প্রশ্নমতে, $\frac{\left|k\right|}{\sqrt{13}}=\frac{5}{\sqrt{13}}$

বা, $|k|=5$

$\therefore k=\pm 5$

$\therefore \mathrm{PQ}$ রেখার সমীকরণ,

$2x+3y+5=0[\because k=1$ হলে, AB রেখার সমীকরণ হয়]

নির্ণেয় $PQ$ রেখার সমীকরণ, $2x+3y+5=0$.