সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প – ১:A…’ সিলেট এমসি কলেজ ২০২৪ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু A(1,-3)

উপকেন্দ্র $S(5,2)$

ধরি, $z(x_1,y)$

$\begin{array}{cc}& \frac{x_1+5}{2}=1\\ \Rightarrow & x_1+5=2\\ \therefore & x_1=-3\end{array}$

$\begin{array}{cc}& \frac{y_1+2}{2}=-3\\ \Rightarrow & y_1+2=-6\\ \therefore & y_1=-8\end{array}$

$z(x_1,y_1)\equiv (-3,-8)$

ZS রেখার সমীকরণ,

$\frac{y+8}{x+3}=\frac{2+8}{5+3}$

$\Rightarrow \frac{y+8}{x+3}=\frac{5}{4}$

$\Rightarrow 5x+15-4y-32=0$

$\therefore 5x-4y-17=0.....\left(i\right)$

(i) নং এর লম্বরেখার সমীকরণ যা (-3,-8) বিন্দুগামী

$4x+5y=4(-3)+5(-8)$

$\Rightarrow 4x+5y=-12-40$

$\therefore 4x+5y+52=0$ ..... (ii) [নিয়ামক রেখার সমীকরণ]

ধরি, পবাবৃত্তের উপরস্থ কোনো বিন্দু P(x,y)

$SP=PM$

$\Rightarrow s{p}^r=P{m}^r$

$\Rightarrow (x-5{)}^2+(y-2{)}^2=\frac{(4x+5y+52{)}^2}{4^2+5^2}$

$\Rightarrow x^2-10x+25+y^2-4y+4=\frac{16x^2+25y^2+270y+40xy+520y+416x}{41}$

$\Rightarrow 41x^2-40x+1025+41y^2-164y+164-16x^2-25y^2-270y-40xy-520y-416x=0$

$\therefore 25x^2+25y^2-40xy+56x-584y-1515=0$ [ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ]

দৃশ্যকল্প-২ হতে,

উপবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্ব এর বৃহদাক্ষকে $(\pm 5,3)$ বিন্দুতে ছেদ কর।

উপকেন্দ্রদ্বয় $S_1(+5,3)\left(3s_2\right(-5,3)$

$\therefore$ উপবৃত্তের কেন্দ্র $(\frac{5-5}{2},\frac{3+3}{2})\equiv (0,3)$

$\therefore$ উপবৃত্তের সমীকরণ,

$\frac{(x-0{)}^2}{a^2}+\frac{(y-3{)}^2}{b^2}=1$

$\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-3{)}^2}{b^2}=1....\left(i\right)$

প্রশ্নমতে,

$2a=12$

$\therefore a=6$

§$2ae={\S }_1{s}_2$

$\Rightarrow 2ae=\sqrt{(5+5{)}^2+(3-3{)}^2}$

$\Rightarrow 2ae=\sqrt{(10{)}^2}$

$\Rightarrow 2ac=10$

$\Rightarrow 2\cdot 6\cdot e=10$

$\Rightarrow e=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$

$\Rightarrow e^n=\frac{25}{36}$

$\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{25}{36}$

$\Rightarrow 1-\frac{b^2}{6^2}=\frac{25}{36}$

$\Rightarrow \frac{b^2}{b^2}=1-\frac{25}{36}$

$\Rightarrow \frac{b^2}{36}=\frac{11}{36}$

$\Rightarrow b^2=11$

$\therefore b=\sqrt{11}\because b<a$

$\therefore$ উপবৃত্তের সমীকরণ

$\frac{x^2}{6^2}+\frac{{(y^2-3)}^2}{(\sqrt{11}{)}^2}=1$

$\therefore \frac{x^2}{36}+\frac{(y-3{)}^2}{11}=1$