সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: A→=2i^−j^+2k^দৃশ্যকল্প-২: X→=2i^−6j^−3k^…’ – ভেক্টর, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প ১ হতে, $\overrightarrow{A}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$

$\therefore |\overrightarrow{A}|=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$

আমরা জানি, x, y, z অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর যথাক্রমে $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$

x অক্ষ বরাবর ভেক্টর, $\overrightarrow{B}=\hat{i},\therefore |\overrightarrow{B}|=1$

$y""n,\overrightarrow{C}=\hat{j},\therefore |\overrightarrow{C}|=1$
у$\text{ у " }"",\overrightarrow{D}=\hat{k},\therefore |\overrightarrow{D}|=1$

প্রদত্ত ভেক্টরটি x, y, z অক্ষের সাথে $\alpha ,\beta ,\gamma$ কোণ উৎপন্ন করলে

$\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}\right|}=\frac{(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})\cdot \hat{i}}{3\cdot 1}=\frac{2}{3}$

$\begin{array}{cc}\therefore & \alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\\ & \cos \beta =\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{C}}{\left|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{C}\right|}=\frac{(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})\cdot \hat{j}}{3\cdot 1}=\frac{-1}{3}\\ \therefore & \beta ={\cos }^{-1}\left(\frac{-1}{3}\right)\\ \therefore & \cos \gamma =\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{D}}{\left|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{D}\right|}=\frac{(2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})\cdot \hat{k}}{3\cdot 1}=\frac{2}{3}\\ \therefore & \gamma ={\cos }^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\end{array}$

$\overrightarrow{A}$ ভেক্টরটির অক্ষত্রয়ের সাথে উৎপন্ন কোণ যথাক্রমে ${\cos }^{-1}\left(\frac{2}{3}\right),{\cos }^{-1}$$\left(\frac{-1}{3}\right)$ এবং ${\cos }^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

দৃশ্যকল্প ২ হতে, $\overrightarrow{X}=2\hat{i}-6\hat{j}-3\hat{k};\overrightarrow{Y}=4\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}$

এখন, $\overrightarrow{X}\times \overrightarrow{Y}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ 2& -6& -3\\ 4& 3& -1\end{array}\right|$

$=\hat{i}(6+9)-\hat{j}(-2+12)+\hat{k}(6+24)=15\hat{i}-10\hat{j}+30\hat{k}$
$\therefore |\overrightarrow{X}\times \overrightarrow{Y}|=\sqrt{(15{)}^2+(-10{)}^2+(30{)}^2}$
$-\sqrt{225+100+900}=\sqrt{1225}=35$

$\therefore \overrightarrow{X}$ ও $\overrightarrow{Y}$ ভেক্টরদ্বয় দ্বারা গঠিত সমতলের লম্ব একক ভেক্টর

$\begin{array}{cc}& =\pm \frac{\overrightarrow{X}\times \overrightarrow{Y}}{|\overrightarrow{X}\times \overrightarrow{Y}|}=\pm \frac{15\hat{i}-10\hat{j}+30\hat{k}}{35}\\ & =\pm \frac{5(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})}{35}=\pm \frac{1}{7}(3\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})\end{array}$

নির্ণেয় একক ভেক্টর $\pm \frac{1}{7}(2\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k})$