সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: A=3sin−1⁡12+cos−1⁡25দৃশ্যকল্প-২ :…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২২ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $A=3{\sin }^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}+{\cos }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}$

বামপক্ষ = A

$=3{\sin }^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}+{\cos }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}$

$={\sin }^{-1}\{3\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}-4\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^3\}+{\cos }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}[\because 3{\sin }^{-1}x={\sin }^{-1}(3x-4x^3]$

$={\sin }^{-1}\{\frac{3}{\sqrt{2}}-\frac{4}{2\sqrt{2}}\}+{\cos }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}$

$={\sin }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+{\cos }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}$

$={\sin }^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}+{\cos }^{-1}\frac{2}{\sqrt{5}}$

$={\tan }^{-1}1+\tan \frac{1}{2}$

[চিত্র-১ ও চিত্র-২ হতে]

$={\tan }^{-1}\frac{1+\frac{1}{2}}{1-1\cdot \frac{1}{2}}={\tan }^{-1}\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}$

$={\tan }^{-1}(\frac{3}{2}\times \frac{2}{1})={\tan }^{-1}3=$ ডানপক্ষ

অর্থাৎ, $A={\tan }^{-1}3$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x$

প্রদত্ত সমীকরণ, $2\left\{f\right(x){\}}^2-11f(x)+5=0$

বা, , $2(\sin x{)}^2-11\sin x+5=0$

বা, $2{\sin }^{2}x-11\sin x+5=0$

বা, , $2{\sin }^{2}x-10\sin x-\sin x+5=0$

বা, , $2\sin x(\sin x-5)-1(\sin x-5)=0$

বা, $(\sin x-5)(2\sin x-1)=0$

হয়, $2\sin x-1=0$ অথবা, $\sin x-5=0$

বা, $\sin x=\frac{1}{2}$ বা, $\sin x=5$ কিন্তু ইহা গ্রহণয়াগ্য নয়।

বা, $\sin x=\sin \frac{\pi }{6}$ কেননা $-1\le \sin x\le 1$

$\therefore x=n\pi +(-1{)}^n\frac{\pi }{6}$ যেখানে $n$ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।

$n=0$ হলে, $x=\frac{\pi }{6}$

$n=1$ হলে, $x=\pi +(-1{)}^1\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$

$n=2$ হলে, $x=2\pi +(-1{)}^2\frac{\pi }{6}=2\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{13\pi }{6}$

$\therefore 0\le x\le 2\pi$ ব্যর্বধিতে $x$ এর গ্রহণ্যোগ্য মানসমূহ $\frac{◻}{6},\frac{5\pi }{6}$

নির্ণেয় সমাধান : $x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$.