সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: △ABC এর…’ যশোর বোর্ড ২০১৯ – ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে, $△ABC$ এ

$A+B+C={180}^{\circ }$

বা, ${75}^{\circ }+B+C={180}^{\circ }$

বা, $B+C={180}^{\circ }-{75}^{\circ }$

বা, $B+C={105}^{\circ }........\left(1\right)$

আবার, $B-C={15}^{\circ }.......\left(2\right)$

(1) নং সমীকরণ থেকে (2) নং বিয়োগ করে, $2C={90}^{\circ }$

বা, $C={45}^{\circ }$

বামপক্ষ $=\cos \frac{C}{6}=\cos \frac{{45}^{\circ }}{6}$

$=\cos \frac{{15}^{\circ }}{2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{4{\cos }^2\frac{{15}^{\circ }}{2}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{2.2{\cos }^2\frac{{15}^{\circ }}{2}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{2(1+\cos {15}^{\circ })}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{2+2\cos {15}^{\circ }}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{4{\cos }^2{15}^{\circ }}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos {30}^{\circ })}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ ডানপক্ষ

$\therefore \cos \frac{c}{6}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$ (প্রমাণিত)

দৃশ্যকল্প-২ হতে, $△ABC$ এ

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

বা, $\cos {60}^{\circ }=\frac{(\sqrt{3}+1{)}^2+(\sqrt{3}-1{)}^2-c^2}{2\cdot (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$

বা, $\frac{1}{2}=\frac{3+2\sqrt{3}+1+3-2\sqrt{3}+1-c^2}{2(3-1)}$

বা, $\frac{1}{2}=\frac{8-c^2}{4}$

বা, $c^2=6$

বা, $c=\sqrt{6}$

এখন, $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$=\frac{(\sqrt{3}-1{)}^2+6-(\sqrt{3}+1{)}^2}{2(\sqrt{3}-1)\times \sqrt{6}}$

$=-0.258819$

$=\cos {105}^{\circ }$

$\therefore A={105}^{\circ }$

$\therefore B={180}^{\circ }-({105}^{\circ }+{60}^{\circ })={15}^{\circ }$

নির্ণেয় সমাধান: $A={105}^{\circ },B={15}^{\circ },C=\sqrt{6}$.