সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ :∆∆∆ABC এর…’ সিলেট বোর্ড ২০২২ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $△\mathrm{ABC}$ এর অনঃকেন্দ্র I বিন্দুতে IA, IB, IC

বরাবর ক্রিয়ারত $P_1,P_2,P_3$ বলত্রয় ভারসাম্য সৃষ্টি করে।

$\therefore$ লামির উপপাদ্য অনুসারে,

$\frac{P_1}{\sin BI\mathrm{IC}}=\frac{P_2}{\sin \mathrm{AIC}}=\frac{P_3}{\sin \mathrm{AIB}}......\left(1\right)$

এখানে, $\angle B$ IC $+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\pi$

বা, $\angle \mathrm{BIC}=\pi -\frac{1}{2}(B+C)=\pi -\frac{1}{2}(\pi -A)=\frac{\pi }{2}+\frac{A}{2}$

অনুরূপভাবে, $\angle \mathrm{AIC}=\frac{Q}{2}+\frac{B}{2},\angle A\mathrm{IB}=\frac{Q}{2}+\frac{C}{2}$

$\therefore$ (1) নং সমীকরণ হতে পাই, $\frac{P_1}{\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{A}{2})}=\frac{P_2}{\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{B}{2})}=\frac{P_3}{\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{C}{2})}$

$\therefore \frac{P_1}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{P_2}{\cos \frac{B}{2}}=\frac{P_3}{\cos \frac{C}{2}}$ (প্রমাণিত)

মনেকরি, A বিন্দুতে P বল, B বিন্দুতে Q বলের লব্ধি C বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

$\therefore P\cdot \mathrm{AC}=Q\cdot \mathrm{BC}$

বা, $\frac{BC}{AC}=\frac{P}{Q}$

বা, $\frac{BC+AC}{AC}=\frac{P+Q}{Q}$ [যোজন করে]

বা, $\frac{AB}{AC}=\frac{P+Q}{Q}\therefore AC=\frac{Q\cdot AB}{P+Q}$

P বলকে b দূরত্ব সরিয়ে D বিন্দুতে আনলে লব্ধি E বিন্দুতে কিয়া করে।

$\therefore$ P. DE $=$ Q. BE

বা, $\frac{BE}{DE}=\frac{P}{Q}$ বা, $\frac{BE+DE}{DE}=\frac{P+Q}{Q}$ বা, $\frac{BD}{DE}=\frac{P+Q}{Q}$

$\therefore \mathrm{DE}=\frac{Q\cdot \mathrm{BD}}{P+Q}$

$\therefore$ লব্ধির সরণ, $\mathrm{CE}=\mathrm{AE}-\mathrm{AC}=\mathrm{AD}+\mathrm{DE}-\mathrm{AC}$

$=b+\frac{Q\cdot \mathrm{BD}}{P+Q}-\frac{Q\cdot \mathrm{AB}}{P+Q}=\frac{b(P+Q)+Q\cdot \mathrm{BD}-Q\cdot \mathrm{AB}}{P+Q}$

$=\frac{\mathrm{Pb}+\mathrm{Qb}+Q(\mathrm{AB}-\mathrm{AD})-Q\cdot \mathrm{AB}}{P+Q}$

$=\frac{Pb+Qb+Q(AB-b)-Q\cdot AB}{P+Q}=\frac{Pb+Qb+Q\cdot AB-Qb-QAB}{P+Q}$

$\therefore \mathrm{CE}=\frac{\mathrm{Pb}}{P+Q}$

$\therefore$ বলদ্বয়ের লব্ধি $\frac{\mathrm{Pb}}{P+Q}$ দূরত্ব সরে যাবে। (দেখানো হলো)