সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: ABC ত্রিভুজে…’ বরিশাল বোর্ড ২০১৭ – অন্তরীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজে,

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

বা, $\frac{\sqrt{3}b}{\sin 2B}=\frac{b}{\sin B}[<a=\sqrt{3}b$ এবং A=2 B]

বা, $\frac{\sqrt{3}}{2\sin B\cos B}=\frac{1}{\sin B}$

বা, $2\sin B\cos B=\sqrt{3}\sin B$

বা, $2\cos B=\sqrt{3}[<\sin B\ne 0$ কারণ, ত্রিভুজের কোনো কোণ শূন্য হতে পারে না]

বা, $\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$

বা, $\cos B=\cos {30}^{\circ }$

$\therefore B={30}^{\circ }\therefore A=2\times {30}^{\circ }={60}^{\circ }$

$\therefore C={180}^{\circ }-({30}^{\circ }+{60}^{\circ })={180}^{\circ }-{90}^{\circ }={90}^{\circ }$

$\therefore \mathrm{ABC}$ ত্রিভুজের কোণগুলো $A={60}^{\circ },B={30}^{\circ }$ এবং $C={90}^{\circ }$.

দেওয়া আছে, lny = bz

বা, lny $=b{\cos }^{-1}x[<\cos z=x\therefore z={\cos }^{-1}x]$

উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$\frac{1}{y}{y}_1=-b\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

বা, $y_1\sqrt{1-x^2}=-by$

বা, $y_1^2(1-x^2)=b^2{y}^2$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

আবার, x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$2y_1{y}_2(1-x^2)+y_1^2(-2x)=2b^{2}y{y}_1$

বা, $y_2(1-x^2)-x{y}_1=b^{2}y$

$\therefore (1-x^2)y_2-x{y}_1=b^{2}y$ (প্রমাণিত)