সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: ABC ত্রিভুজে…’ সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $△\mathrm{ABC}$ এ $\angle \mathrm{ACB}={60}^{\circ }$

অতএব, $\cos C=\cos {60}^{\circ }$

বা, $\frac{a^2+b^2-c^2}{2\mathrm{ab}}=\frac{1}{2}[\because \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2\mathrm{ab}}]$

বা, $\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}=1$

বা, $a^2+b^2-c^2=ab$

বা, $a^2+b^2-c^2-ab=0$

বা, $(a+b+c{)}^2-3ab-2bc-2ca-2c^2=0$

বা, $(a+b+c{)}^2+ac+bc+c^2=3ab+3bc+3ac+3c^2$

বা, $(a+b+c{)}^2+c(a+b+c)=3b(a+c)+3c(a+c)$

বা, $(a+b+c)(a+b+c+c)=(a+c)(3b+3c)$

বা, $(a+b+c)\left\{\right(a+c)+(b+c\left)\right\}=3(a+c)(b+c)$

বা, $\frac{(a+c)+(b+c)}{(a+c)(b+c)}=\frac{3}{a+b+c}$

$\therefore \frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $P+Q+R=\pi$ এবং $M=\cos P+\cos R$

 বামপক্ষ $=M-1+\cos Q$

$=\cos P+\cos Q+\cos R-1$

$=2\cos \frac{P+Q}{2}\cos \frac{P-Q}{2}-(1-\cos R)$

$=2\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{R}{2})\cos \frac{P-Q}{2}-2{\sin }^2\frac{R}{2}$

$=2\sin \frac{R}{2}\cos \frac{P-Q}{2}-2{\sin }^2\frac{R}{2}$

$=2\sin \frac{R}{2}[\cos \frac{P-Q}{2}-\sin \frac{R}{2}]$

$=2\sin \frac{R}{2}[\cos \frac{P-Q}{2}-\sin \{\frac{\pi }{2}-\left(\frac{P+Q}{2}\right)\}]$

$=2\sin \frac{R}{2}[\cos \frac{P-Q}{2}-\cos \frac{P+Q}{2}]$

$=2\sin \frac{R}{2}\times 2\sin \frac{P}{2}\sin \frac{Q}{2}=4\sin \frac{P}{2}\sin \frac{Q}{2}\sin \frac{R}{2}=$ ডানপক্ষ

$\therefore M1+\cos Q=4\sin \frac{P}{2}\sin \frac{Q}{2}\sin \frac{R}{2}.$ (দেখানো হলো)