সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: ax2+bx+c=0 এবং…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $a{x}^2+bx+c=0$

এবং $b{x}^2+cx+a=0$

মনে করি, সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি $\alpha$ যা উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

$a{\alpha }^2+b\alpha +c=0$ .......... (i)

এবং $b{\alpha }^2+c\alpha +a=0$ ......... (ii)

$\frac{{\alpha }^2}{ab-c^2}=\frac{\alpha }{bc-a^2}=\frac{1}{ca-b^2}$

$\frac{{\alpha }^2}{bc-a^2}=\frac{1}{ca-b^2}\therefore \alpha =\frac{bc-a^2}{ca-b^2}$

আবার, $\frac{{\alpha }^2}{ab-c^2}=\frac{\alpha }{bc-a^2}$

বা, $\frac{a}{ab-c^2}=\frac{1}{bc-a^2}$

বা, $\alpha =\frac{ab-c^2}{bc-a^2}$

বা, $\frac{bc-a^2}{ca-b^2}=\frac{ab-c^2}{bc-a^2}\mid \alpha$ এর মান বসিয়ে ]

বা, $(bc-a^2)(bc-a^2)=(ab-c^2)(ca-b^2)$

বা, ${(bc-a^2)}^2=(ab-c^2)(ca-a^2)$

বা, $b^2{c}^2-2a^{2}bc+a^4=a^{2}bc-a{c}^3-a{b}^3+b^2{c}^2$

বা, $a^4=-a{b}^3-a{c}^3+3a^{2}bc$

বা, $a^3=-b^3-c^3+3abc$

$\therefore a^3+b^3+c^3=3abc$. (দেখানো হলো)

প্রদত্ত সমীকরণ, $8x^3-36x^2+22x+21=0$ ........ (i)

(i) নং সমীকরণের মূলত্রয় সমান্তর প্রগমনভুক হলে,

ধরি, মূলত্রয় $\alpha -\beta ,\alpha ,\alpha +\beta$

$\therefore (\alpha -\beta )+\alpha +(\alpha +\beta )=-\frac{-36}{8}$

বা, $3\alpha =\frac{9}{2}$

$\therefore \alpha =\frac{3}{2}$

আবার, $(\alpha -\beta )\cdot \alpha \cdot (\alpha +\beta )=-\frac{21}{8}$

বা, $\alpha ({\alpha }^2-{\beta }^2)=-\frac{21}{8}$

বা, $\frac{3}{2}\{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-{\beta }^2\}=-\frac{21}{8}$

বা, $\frac{9}{4}-{\beta }^2=-\frac{7}{4}$

বা, ${\beta }^2=\frac{9}{4}+\frac{7}{4}$

বা, ${\beta }^2=\frac{16}{4}$

বা, ${\beta }^2=4\therefore \beta =\pm 2$

এখন, $\alpha =\frac{3}{2}$ এবং $\beta =2$ হলে,

$=\frac{3}{2}-2,\frac{3}{2},\frac{3}{2}+2$

$=-\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{7}{2}$

আবার, $\alpha =\frac{3}{2}$ এবং $\beta =-2$ হলে,

$=\frac{3}{2}+2,\frac{3}{2},\frac{3}{2}-2$

$=\frac{7}{2},\frac{3}{2},-\frac{1}{2}$

নির্ণেয় মূলগুলো : $-\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{7}{2}$.