সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : ax2+bx+c=0…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

[বি. দ্র: প্রশ্নটি অসঙ্গতিপূর্ণ। প্রশ্নে $(c+a{)}^2=b$ এর পরিবর্তে $(c+a{)}^2=b^2$ হবে]

প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়:

$a{x}^2+bx+c=0\dots \dots \left(i\right)$

$c{x}^2+bx+a=0\dots \dots \left(ii\right)$

ধরি,

সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল $\alpha$।

তাহলে $\alpha$ দ্বারা সমীকরণদ্বয় সিদ্ধ হবে।

$\therefore a{\alpha }^2+b\alpha +c=0\dots \dots \left(iii\right)$

এবং $c{\alpha }^2+b\alpha +a=0\dots \dots \left(iv\right)$

$\left(iii\right)$ ও $\left(iv\right)$ নং সমীকরণে বজ্রগুণন সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{ab-bc}=\frac{\alpha }{c^2-a^2}=\frac{1}{ab-bc}$

১ম ও ৩য় অনুপাত হতে পাই,

$\frac{{\alpha }^2}{b(a-c)}=\frac{1}{b(a-c)}$

$\Rightarrow {\alpha }^2=1\dots \dots \left(v\right)$

আবার, ২য় ও ৩য় অনুপাত হতে পাই,

$\frac{\alpha }{c^2-a^2}=\frac{1}{b(a-c)}$

$\Rightarrow \alpha =\frac{c^2-a^2}{-b(c-a)}$

$\Rightarrow \alpha =\frac{-(c-a)(c+a)}{-b(c-a)}$

$\Rightarrow \alpha =\frac{c+a}{b}$

এখন $\alpha$ এর মান $\left(v\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

${\left(\frac{c+a}{b}\right)}^2=1$

$\Rightarrow \frac{(c+a{)}^2}{b^2}=1$

$\therefore (c+a{)}^2=b^2$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$x=p{\omega }^2+q+r\omega$

$y=p\omega +q+r{\omega }^2$

এবং $x^3+y^3=0$

এখন, $x^3+y^3=0$

$\Rightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)=0$

এবং$\Rightarrow (x+y)\{x^2+(\omega +{\omega }^2)xy+y^2{\omega }^3\}=0[\because 1+\omega +{\omega }^2=0\Rightarrow -1=\omega +{\omega }^2\text{ এবং }{\omega }^3=1]$

$\Rightarrow (x+y)(x^2+\omega xy+{\omega }^{2}xy+y^2{\omega }^3)=0$

$\Rightarrow (x+y)\left\{x\right(x+\omega y)+{\omega }^{2}y(x+\omega y\left)\right\}=0$

$\Rightarrow (x+y)(x+\omega y)(x+{\omega }^{2}y)=0$

এখান থেকে তিনটি শর্ত পাওয়া যায়।

হয়, $x+y=0$

$\Rightarrow (p{\omega }^2+q+r\omega )+(p\omega +q+r{\omega }^2)=0$

$\Rightarrow p(\omega +{\omega }^2)+2q+r(\omega +{\omega }^2)=0$

$\Rightarrow p(-1)+2q+r(-1)=0[\because \omega +{\omega }^2=-1]$

$\Rightarrow -p+2q-r=0$

$\therefore 2q=p+r$

অথবা, $x+\omega y=0$

$\Rightarrow (p{\omega }^2+q+r\omega )+\omega (p\omega +q+r{\omega }^2)=0$

$\Rightarrow p{\omega }^2+q+r\omega +p{\omega }^2+q\omega +r{\omega }^3=0$

$\Rightarrow 2p{\omega }^2+q(1+\omega )+r(\omega +1)=0[\because {\omega }^3=1]$

$\Rightarrow 2p{\omega }^2+q(-{\omega }^2)+r(-{\omega }^2)=0[\because 1+\omega =-{\omega }^2]$

$\Rightarrow {\omega }^2(2p-q-r)=0$

$\Rightarrow 2p-q-r=0[\because \omega \ne 0]$

$\therefore 2p=q+r$

অথবা, $x+{\omega }^{2}y=0$

$\Rightarrow (p{\omega }^2+q+r\omega )+{\omega }^2(p\omega +q+r{\omega }^2)=0$

$\Rightarrow p{\omega }^2+q+r\omega +p{\omega }^3+q{\omega }^2+r{\omega }^4=0$

$\Rightarrow p{\omega }^2+q+r\omega +p\left(1\right)+q{\omega }^2+r\omega =0[\because {\omega }^3=1,{\omega }^4=\omega ]$

$\Rightarrow p(1+{\omega }^2)+q(1+{\omega }^2)+2r\omega =0$

$\Rightarrow p(-\omega )+q(-\omega )+2r\omega =0[\because 1+{\omega }^2=-\omega ]$

$\Rightarrow \omega (-p-q+2r)=0$

$\Rightarrow 2r-p-q=0[\because \omega \ne 0]$

$\therefore 2r=p+q$

অতএব, $2p=q+r$ অথবা $2q=r+p$ অথবা $2r=p+q$ (প্রমাণিত)