সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: ax2+bx+c=0 সমীকরণের…’ সোনার বাংলা কলেজ ২০২৪ – বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,$a{x}^2+bx+c=0$

সমীকরণটির মূলদ্বয়$\alpha ,\beta$

$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}$

$\alpha \beta =\frac{c}{a}$

এখন, $\frac{\alpha +\beta }{2}=-\frac{b}{2a}$

$\sqrt{\alpha \beta }=\sqrt{\frac{c}{a}}$

এখন, $\frac{\alpha +\beta }{2}$ও$\sqrt{2\beta }$মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,

$x^2-(\frac{\alpha +\beta }{2}+\sqrt{\alpha \beta })x+(\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \sqrt{\alpha }\beta )=0$

বা, $x^2-(-\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{c}{a}})x+(-\frac{b}{2a}\cdot \sqrt{\frac{c}{a}})=0$

বা, $x^2-\left(\frac{-b+2\sqrt{ac}}{2a}\right)x+\frac{-b\sqrt{c}}{2a\sqrt{a}}=0$

$f\left(x\right)=0$

বা, $x^3-px+qx-r=0$

সমীকরণটির মূলত্রয়, u, v, w

$u+v+w=p$

$uv+vw+uw=q$

$uvw=\pi$

$\sum u^3=u^3+v^3+w^3$

$=u^3+v^3+w^3-3uvw+3uvw$

$=(u+v+w)\{u^2+v^2+w^2-(uv+vw+uw\left)\right\}+3uvw$

$=(u+v+w)\}\left\{\right(u+v+w{)}^2-2(uv+b+vw+uw)$$-(uv+vw+uw)\}+3uvw$

$=(u+v+w)\left\{\right(u+v+w{)}^2-3(uv+vw+uw)\}+3urw$

$=p\{p^2-3q\}+3\pi$

$=p^3-3pq+3\pi$