সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : ax2+by2−36x−4y+43=0…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $a{x}^2+b{y}^2-36x-4y+43=0$
এখন, $a=6$ ও $b=4$ হলে,

$6x^2+4y^2-36x-4y+43=0$

বা, $6(x^2-6x)+4(y^2-y)+43=0$
বা, $6(x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2-3^2)+4(y^2-2\cdot y\cdot \frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2)+43=0$
বা, $6(x-3{)}^2-54+4{(y-\frac{1}{2})}^2-1+43=0$
বা. $6(x-3{)}^2+4{(y-\frac{1}{2})}^2=12$
বা, $\frac{(x-3{)}^2}{2}+\frac{{(y-\frac{1}{2})}^2}{3}=1$
যেখানে, $a^2=2$ বা, $a=\sqrt{2}$
এবং $b^2=3$ বা, $b=\sqrt{3}$
$\therefore$ উপবৃত্তটির শীর্ষ $(\alpha ,\beta )=(3,\frac{1}{2})$
$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{2a^2}{b}=\frac{2\times 2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$ একক
উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\therefore$ নিয়ামকের সমীকরণ, $y-\beta =\pm \frac{b}{e}$
বা, $y-\frac{1}{2}=\pm \frac{\frac{\sqrt{3}}{1}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\pm 3$ 

'+' চিহ্ন নিয়ে,

$y-\frac{1}{2}=3$

বা, $2y-1=6$
বা, $2y-7=0$ 

'-' চিহ্ন নিয়ে,

$y-\frac{1}{2}=-3$

বা, $2y-1=-6$
বা, $2y+5=0$ 

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $\frac{4}{\sqrt{3}}$ একক এবং নিয়ামকের সমীকরণ, 

$2y-7=0,2y+5=0$. 

এখানে, পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু A(4, 2) এবং উপকেন্দ্র, S(0, 2) A(4, 2) ও S(0, 2) বিন্দুগামী রেখার অর্থাৎ, অক্ষরেখা AS এর 

সমীকরণ, $\frac{y-2}{x-4}=\frac{2-2}{4-0}$

বা, $\frac{y-2}{x-4}=\frac{0}{4}$

বা, $4(y-2)=0$

$\therefore y-2=0$$........\left(1\right)$

ধরি, নিয়ামক রেখা MZM' অক্ষরেখাকে $Z(\alpha ,\beta )$ বিন্দুতে ছেদ করে । আবার, S, Z এর মধ্যবিন্দু হলো A(4, 2) 

$\therefore \frac{\alpha +0}{2}=A$ 

বা, $\alpha =8$ 
$\therefore Z(8,2)$ 

এবং $\frac{\beta +2}{2}$
বা, $\beta +2=4$
$\therefore \beta =2$

নিয়ামকরেখা অক্ষরেখার উপর লম্ব বলে, MZM' রেখার সমীকরণ,

$-x+0\cdot y+k=0$

বা, $x+k=0$$.........\left(2\right)$
 নং রেখাটি $Z(8,2)$ বিন্দুগামী হওয়ায়,

$\begin{array}{cc}& -8+k=0\\ & \therefore k=8\end{array}$ 

k-এর মান $\left(2\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}& -x+8=0\\ \therefore & x-8=0\end{array}$

$\therefore$ নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $x-8=0$
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিদ্দু $P(x,y)$
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP = PM
বা, ${\mathrm{SP}}^2={\mathrm{PM}}^2$
বা, $(x-0{)}^2+(y-2{)}^2={\left|\frac{x-8}{\sqrt{1^2+0}}\right|}^2$
বা, $x^2+y^2+4y+4=(x-8{)}^2$
বা, $x^2+y^2-4y+4=x^2-16x+64$
$\therefore y^2+16x-4y-60=0$; ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।