সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: A=x3,B=8দৃশ্যকল্প-২ :…’ কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে; $A=(a+3x{)}^n$

দ্বিপদী উপপাদের সাহায্যে পাই,

$A=(a+3x{)}^n=a^n+{}^n{C}_1{a}^{n-1}\cdot 3x+{}^n{C}_2{a}^{n-2}\cdot 3^2{x}^2+......$

প্রশ্নমতে, ${}^n{C}_2{a}^{n-2}\cdot 3^2\cdot x^2=\frac{189}{4}b{x}^2$

বা, $\frac{n(n-1)}{[2}\frac{a^n}{a^2}=\frac{21}{4}b$

বা, $n(n-1)\frac{a^n}{a^2}=\frac{21}{2}b$ ......... (1)

${}^n{C}_1\cdot a^{n-1}\cdot 3x=\frac{21}{2}bx$

বা, $n\cdot \frac{a^n}{a}=\frac{7}{2}b$ .......... (2)

$a^n=b$ .......... (3)

(1) নং সমীকরণকে (2) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{n-1}{a}=3\Rightarrow n-1=3a$ ........... (4)

(2) নং সমীকরণকে (3) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{n}{a}=\frac{7}{2}\Rightarrow n=\frac{7}{2}a$ .......... (5)

সমীকরণ (4) ও (5) নং হতে পাই,

$\frac{7}{2}a-1=3a$ বা $,\frac{a}{2}=1\therefore a=2$

(5) নং সমীকরণে $a=2$ বসিয়ে পাই,

$\therefore n=\frac{7}{2}\cdot 2=7$

এখন (3) নং সমীকরনে a ও n এর মান বসিয়ে পাই,

$\therefore b=2^7=128$

নির্ণেয় মান : $a=2,b=128$ এবং $n=7$.

দেওয়া আছে, $A=x^3$ এবং $B=8$

এখন, $A-B=0$ হলে, $x^3-8=0$

বা, $x^3-2^3=0$

বা, $(x-2)(x^2+2x+4)=0$

হয়, $x-2=0$

বা, $x=2$

অথবা, $x^2+2x+4=0$

বা, $x=\frac{-2\pm \sqrt{4-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}$

$=\frac{-2\pm \sqrt{-12}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{-3}}{2}$

$=-1\pm \sqrt{-3}=-1\pm i\sqrt{3}$

জটিল মূলায় $-1+i\sqrt{3}$ এবং - $1-i\sqrt{3}$

$\therefore z_1=-1+i\sqrt{3}$ এবং $z_2=-1-i\sqrt{3}$

এখন, $z_1\cdot z_2=(-1+i\sqrt{3})(-1-i\sqrt{3})$

$=(-1{)}^2-(i\sqrt{3}{)}^2=1+3=4=4+0i$

বামপক্ষ $=\mathrm{Arg}(z_1\cdot z_2)={\tan }^{-1}\frac{0}{4}={\tan }^{-1}0=0.$

ডানপক্ষ $=\mathrm{Arg}\left(z_1\right)+\mathrm{Arg}\left(z_2\right)$

$={\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{-1}\right)=(\pi -\frac{\pi }{3})-(\pi -\frac{\pi }{3})=0.$

$\therefore \arg \left(z_1{z}_2\right)=\arg \left(z_1\right)+\arg \left(z_2\right).($ প্রমাণিত $)$