সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ :B=[10−1321543] এবং…’ ২০২৬ – ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& 4& 3\end{array}\right]$ এবং $f\left(x\right)=x^2+3x$

$\therefore f\left(B\right)=B^2+3B=B.B+3.B$

$=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& 4& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& 4& 3\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 1\\ 5& 4& 3\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}1+0-5& 0+0-4& -1+0-3\\ 3+6+5& 0+4+4& -3+2+3\\ 5+12+15& 0+8+12& -5+4+9\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}3& 0& -3\\ 9& 6& 3\\ 15& 12& 9\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-4& -4& -4\\ 14& 8& 2\\ 32& 20& 8\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}3& 0& -3\\ 9& 6& 3\\ 15& 12& 9\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-4+3& -4+0& -4-3\\ 14+9& 8+6& 2+3\\ 32+15& 20+12& 8+9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1& -4& -7\\ 23& 14& 5\\ 47& 32& 17\end{array}\right]$

$I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

এখন, $f\left(B\right)+2I_3=\left[\begin{array}{ccc}-1& -4& -7\\ 23& 14& 5\\ 47& 32& 17\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{ccc}-1& -4& -7\\ 23& 14& 5\\ 47& 32& 17\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -4& -7\\ 23& 16& 5\\ 47& 32& 19\end{array}\right]$

নির্ণেয় : $f\left(B\right)+2I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& -4& -7\\ 23& 16& 5\\ 47& 32& 19\end{array}\right]$.

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{array}{ccc}m& n& p\\ 2m^3+1& 2n^3+1& 2p^3+1\\ m^2& n^2& p^2\end{array}\right]$

$\therefore \det \left(A\right)=\left|\begin{array}{ccc}m& n& p\\ 2m^3+1& 2n^3+1& 2p^3+1\\ m^2& n^2& p^2\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}m& n& p\\ 2m^3& 2n^3& 2p^3\\ m^2& n^2& p^2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}m& n& p\\ 1& 1& 1\\ m^2& n^2& p^2\end{array}\right|$

$=2mnp\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ m^2& n^2& p^2\\ m& n& p\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ m& n& p\\ m^2& n^2& p^2\end{array}\right|$

$=-2mnp\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ m& n& p\\ m^2& n^2& p^2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ m& n& p\\ m^2& n^2& p^2\end{array}\right|$

$=(-2mnp-1)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ m& n& p\\ m^2& n^2& p^2\end{array}\right|$

$=-(2mnp+1)\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ m-n& n-p& p\\ m^2-n^2& n^2-p^2& p^2\end{array}\right|$

$=-(2mnp+1)\left|\begin{array}{cc}m-n& n-p\\ m^2-n^2& n^2-p^2\end{array}\right|$

$=-(2mnp+1)(m-n)(n-p)\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ m+n& n+p\end{array}\right|$

$=-(2mnp+1)(m-n)(n-p)(n+p-m-n)$

$=-(2mnp+1)(m-n)(n-p)(p-m)$

$\therefore \det \left(A\right)=-(2mnp+1)(m-n)(n-p)(p-m)$

যেহেতু A ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স ।

সেহেতু $\det A=0$

অর্থাৎ, $-(2mnp+1)(m-n)(n-p)(p-m)=0$

বা, $(2mnp+1)(m-n)(n-p)(p-m)=0$

হয়, $2\mathrm{mnp}+1=0$

বা, $2\mathrm{mnp}=-1$

অথবা, $m-n=0$

বা, $m=n$

অথবা, $n-p=0$

বা, $n=p$

অথবা, $p-m=0$ 

বা, $p=m$

$\therefore mnp=-\frac{1}{2}$

$\therefore m=n=p$

সুতরাং, mnp $=-\frac{1}{2}$ অথবা $m=n=p$. (দেখানো হলো).