সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : B=(p+qω+rω2)3+(p+qω2+rω)3দৃশ্যকল্প-২…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – জটিল সংখ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

[বি.দ্র. : প্রশ্নে $p+q+r=0$ এর পরিবর্তে $p+q+r=1$ হবে]

দেওয়া আছে,

$B={(p+q\omega +r{\omega }^2)}^3+{(p+q{\omega }^2+r\omega )}^3$

এবং $p+q+r=1$

ধরি,

$x=p+q\omega +r{\omega }^2$ এবং $y=p+q{\omega }^2+r\omega$

$\therefore B=x^3+y^3$

$=(x+y)(x^2-xy+y^2)$

এবং$=(x+y)\{x^2+xy(\omega +{\omega }^2)+y^2{\omega }^3\}[\because 1+\omega +{\omega }^2=0\Rightarrow -1=\omega +{\omega }^2\text{ এবং }{\omega }^3=1]$

$=(x+y)(x^2+xy\omega +xy{\omega }^2+y^2{\omega }^3)$

$=(x+y)\left\{x\right(x+y\omega )+y{\omega }^2(x+y\omega \left)\right\}$

$=(x+y)(x+y\omega )(x+y{\omega }^2)$

এখন,

$x+y=(p+q\omega +r{\omega }^2)+(p+q{\omega }^2+r\omega )$

$=2p+q(\omega +{\omega }^2)+r({\omega }^2+\omega )$

$=2p+q(-1)+r(-1)[\because 1+\omega +{\omega }^2=0]$

$=2p-q-r$

$=3p-(p+q+r)$

$=3p-1[\because p+q+r=1]$

আবার,

$x+y\omega =(p+q\omega +r{\omega }^2)+(p+q{\omega }^2+r\omega )\omega$

$=p+q\omega +r{\omega }^2+p\omega +q{\omega }^3+r{\omega }^2$

$=p+q\omega +r{\omega }^2+p\omega +q\left(1\right)+r{\omega }^2[\because {\omega }^3=1]$

$=p(1+\omega )+q(1+\omega )+2r{\omega }^2$

$=p(-{\omega }^2)+q(-{\omega }^2)+2r{\omega }^2$

$={\omega }^2(2r-p-q)$

$={\omega }^2\{3r-(p+q+r\left)\right\}$

$={\omega }^2(3r-1)$

এবং,

$x+y{\omega }^2=(p+q\omega +r{\omega }^2)+(p+q{\omega }^2+r\omega ){\omega }^2$

$=p+q\omega +r{\omega }^2+p{\omega }^2+q{\omega }^4+r{\omega }^3$

$=p+q\omega +r{\omega }^2+p{\omega }^2+q\omega +r\left(1\right)[\because {\omega }^4=\omega ]$

$=p(1+{\omega }^2)+r(1+{\omega }^2)+2q\omega$

$=p(-\omega )+r(-\omega )+2q\omega$

$=\omega (2q-p-r)$

$=\omega \{3q-(p+q+r\left)\right\}$

$=\omega (3q-1)$

মানগুলো $B$ এর সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$B=(3p-1)\cdot {\omega }^2(3r-1)\cdot \omega (3q-1)$

$={\omega }^3(3p-1)(3q-1)(3r-1)$

$=1\cdot (3p-1)(3q-1)(3r-1)[\because {\omega }^3=1]$

$=(3p-1)(3q-1)(3r-1)$

$\therefore B=(3p-1)(3q-1)(3r-1)$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\arg \left(\frac{p-5}{p+2}\right)=\frac{\pi }{2}$ এবং $p=x+iy$

প্রথমে, জটিল ভগ্নাংশটিকে $A+iB$ আকারে প্রকাশ করি:

$\frac{p-5}{p+2}=\frac{x+iy-5}{x+iy+2}$

$=\frac{(x-5)+iy}{(x+2)+iy}$

হর ও লবকে হরের অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা $(x+2)-iy$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$=\frac{\left\{\right(x-5)+iy\}\left\{\right(x+2)-iy\}}{\left\{\right(x+2)+iy\}\left\{\right(x+2)-iy\}}$

$=\frac{(x-5)(x+2)-i(x-5)y+i(x+2)y-i^2{y}^2}{(x+2{)}^2-i^2{y}^2}$

$=\frac{(x-5)(x+2)-ixy+5iy+ixy+2iy-(-1)y^2}{(x+2{)}^2-(-1)y^2}[\because i^2=-1]$

$=\frac{(x-5)(x+2)+y^2+i\left(7y\right)}{(x+2{)}^2+y^2}$

$=\frac{(x-5)(x+2)+y^2}{(x+2{)}^2+y^2}+i\frac{7y}{(x+2{)}^2+y^2}$

আমরা জানি, কোনো জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট $\frac{\pi }{2}$ (অর্থাৎ ধনাত্মক $Y$-অক্ষ বরাবর) হলে তার বাস্তব অংশ শূন্য ($0$) হয়।

শর্তানুসারে, বাস্তব অংশ $=0$

$\therefore \frac{(x-5)(x+2)+y^2}{(x+2{)}^2+y^2}=0$

$\Rightarrow (x-5)(x+2)+y^2=0$

$\Rightarrow y^2=-(x-5)(x+2)$

$\Rightarrow y^2=(5-x)(x+2)$

$\therefore y^2=(5-x)(x+2)$ (প্রমাণিত)