সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: বর্গের একটি…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৫ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, বর্গের একটি কর্ণের সমীকরণ, $4x+7y=12$ এবং একটি শীর্ষবিন্দু  $(3,2)$.

ধরি, $ABCD$ বর্গের $AC$ কর্ণের সমীকরণ, $4x+7y=12$

∴ অপর কর্ণ $BD$ এর ঢাল $=-\frac{1}{-\frac{4}{7}}=\frac{7}{4}$ [∵ বর্গের কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব]

এবং বর্গের একটি শীর্ষ $B(3,2)$

$AB$ ও $BD$ এর অন্তর্ভুক্ত কোণ $45°$ এবং মনে করি, $AB$ এর ঢাল $m$.

$\therefore \tan {45}^{\circ }=\pm \frac{m-\frac{7}{4}}{1+m\cdot \frac{7}{4}}$

বা, $1=\pm \frac{\frac{4m-7}{7}}{\frac{4+7m}{7}}=\pm \frac{4m-7}{4+7m}$

বা, $4+7m=\pm (4m-7)$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$4+7m=4m-7$

বা, $7m-4m=-7-4$

বা, $3m=-11$

$\therefore m=\frac{-11}{3}$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$4+7m=-(4m-7)$

বা, $4+7m=-4m+7$

বা, $7m+4m=7-4$

বা, $11m=3$

$\therefore m=\frac{3}{11}$

এখন, $(3,2)$ বিন্দুগামী এবং $m$ ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ,

$y-2=m(x-3)$ ............. (i)

$m=-\frac{11}{3}$ হলে, (i)নং হতে পাই,

$y-2=-\frac{11}{3}(x-3)$

বা, $3y-6=-11x+33$

বা, $11x+3y-6-33=0$

$\therefore 11x+3y-39=0$

$m=\frac{3}{11}$ হলে, (i)নং হতে পাই,

$y-2=-\frac{3}{11}(x-3)$

বা, $11y-22=3x-9$

বা, $3x-11y-9+22=0$

∴ $3x-11y+13=0$

নির্ণেয় উক্ত শীর্ষবিন্দুগামী বর্গের বাহুর সমীকরণ, $11x+3y-39=0$

এবং $3x-11y+13=0$

দেওয়া আছে, রেখা দুটির সমীকরণ

$15x-8y+3=0$.........(i)

$4x+3y+5=0$...........(ii)

∴ (i) নং এবং (ii) নং রেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,

$\frac{15x-8y+3}{\sqrt{{15}^2+(-8{)}^2}}=\pm \frac{4x+3y+5}{\sqrt{4^2+3^2}}$

বা, $\frac{15x-8y+3}{\sqrt{289}}=\pm \frac{4x+3y+5}{\sqrt{25}}$

বা, $\frac{15x-8y+3}{17}=\pm \frac{4x+3y+5}{5}$

বা, $75x-40y+15=\pm (68x+51y+85)$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই,
$75x-40y+15=68x+51y+85$
বা, $75x-40y+15-68x-51y-85=0$
বা, $7x-91y-70=0$

$\therefore x-13y-10=0$............(iii)

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$75x-40y+15=-(68x+51y+85)$

বা, $75x-40y+15+68x+51y+85=0$

$\therefore 143x+11y+100=0................\left(iv\right)$

আবার, y অক্ষের উপর যেকোনো বিন্দুর $x$ স্থানাঙ্ক শূন্য।

উভয় সমীকরণে $x=0$ বসিয়ে পাই,

(iii) নং হতে, 

$0-13y-10=0$

বা, $-13y=10\therefore y=-\frac{10}{13}$

$\therefore$ রেখাটি দ্বারা $y$-অক্ষের ছেদবিন্দু A $(0,-\frac{10}{13})$

(iv) নং হতে, $143.0+11y+100=0$

বা, $0+11y+100=0$

বা, $11y=-100$

$\therefore y=-\frac{100}{11}$

$\therefore$ রেখাটি দ্বারা $y$ অক্ষের ছেদবিন্দু $B(0,-\frac{100}{11})$

$\therefore$$AB$ রেখার দৈর্ঘ্য $=|-\frac{10}{13}-(-\frac{100}{11})|$ একক

$=|\frac{-10}{13}+\frac{100}{11}|$ একক

$=\left|\frac{-110+1300}{143}\right|$ একক

$=\left|\frac{1190}{143}\right|$ একক

$=\frac{1190}{143}$ একক

নির্ণেয় $AB$ এর দৈর্ঘ্য $\frac{1190}{143}$ একক।