সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:চিত্রে O ত্রিভুজটির…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – সমতলে বস্তুকনার গতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র $O$ হতে $OA,OB,OC$ বরাবর $P,Q,R$ বলত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থা তৈরি করেছে। সাম্যাবস্থায় লামির সূত্র হতে পাই, 

$\frac{P}{\sin \angle \mathrm{BOC}}=\frac{Q}{\sin \angle \mathrm{AOC}}=\frac{R}{\sin \angle \mathrm{AOB}}$ 

বা, $\frac{P}{\sin 2\angle \mathrm{BAC}}=\frac{Q}{\sin 2\angle \mathrm{ABC}}=\frac{R}{\sin 2\angle \mathrm{ACB}}$
[: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দিগুণ]
বা, $\frac{P}{\sin 2A}=\frac{Q}{\sin 2B}=\frac{R}{\sin 2C}$ 

বা, $\frac{P}{2\sin A\cos A}=\frac{Q}{2\sin B\cos C}=\frac{R}{2\sin C\cos C}$
বা, $\frac{P}{\frac{a}{2R}\cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}=\frac{Q}{\frac{b}{2R}\cdot \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}}=\frac{R}{\frac{c}{2R}\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}$ 

$[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ এবং $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ সূত্র হতে $]$ 

বা, $\frac{P}{\frac{a^2(b^2+c^2-a^2)}{abc}}=\frac{Q}{\frac{b^2(c^2+a^2-b^2)}{abc}}=\frac{R}{\frac{c^2(a^2+b^2-c^2)}{abc}}$

$\therefore \frac{P}{a^2(b^2+c^2-a^2)}=\frac{Q}{b^2(a^2+c^2-b^2)}=\frac{R}{c^2(a^2+b^2-c^2)}$ (প্রমাণিত) 

A ও B বিন্দুতে ক্রিয়ারত P ও Q বলের লব্ধি C বিন্দুতে,

$\therefore P\cdot AC=Q\cdot BC$ বা, $\frac{BC}{AC}=\frac{P}{Q}$

বা, $\frac{BC-AC}{AC}=\frac{P-Q}{Q}$ [বিয়োজন করে] 

বা, $\frac{AB}{AC}=\frac{P-Q}{Q}[\because BC-AC=AB]$
বা, $AC=\frac{Q\cdot AB}{P-Q}$
$P$ ও $Q$ উভয় বলের মান $S$ পরিমাণ বল বৃদ্ধির ফলে লব্ধি $D$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত।
$\therefore (P+S)\cdot \mathrm{AD}=(Q+S)\cdot \mathrm{BD}$
বা, $\frac{BD}{AD}=\frac{P+S}{Q+S}$
বা, $\frac{\mathrm{BD}-\mathrm{AD}}{\mathrm{AD}}=\frac{P+S-Q-S}{Q+S}$ [বিয়োজন করে]
বা, $\frac{AB}{AD}=\frac{P-Q}{Q+S}[\because BD-AD=AB]$
বা, $AD=\frac{(Q+S)\cdot AB}{P-Q}$ 

লব্ধির সরণ, $\mathrm{CD}=\mathrm{AD}-\mathrm{AC}$ 

$=\frac{(Q+S)\cdot AB}{P-Q}-\frac{Q\cdot AB}{P-Q}=\frac{Q\cdot AB+S\cdot AB-Q\cdot AB}{P-Q}$ 

$\therefore \mathrm{CD}=\frac{S}{P-Q}\mathrm{AB}\cdot$ (দেখানো হলো)