সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : cosecα=53,sec⁡β=135,cot⁡γ=2দৃশ্যকল্প-২…’ নটরডেম কলেজ ২০২৬ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$\mathrm{cosec}\alpha =\frac{5}{3}$

বা, $\sin \alpha =\frac{3}{5}$

বা, $\alpha ={\sin }^{-1}\frac{3}{5}={\tan }^{-1}\frac{3}{4}$

এবং $\sec \beta =\frac{13}{5}$

বা, $\beta ={\sec }^{-1}\frac{13}{5}={\cos }^{-1}\frac{5}{13}$

বা, $\cos \beta =\frac{5}{13}$

বা, $\frac{1}{2}\beta =\frac{1}{2}{\cos }^{-1}\frac{5}{13}$

ধরি, $\frac{1}{2}\beta =\theta$

বা, $\beta =2\theta$

বা, $\cos \beta =\cos 2\theta$

বা, $\frac{5}{13}=\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$

বা, $5+5{\tan }^2\theta =13-13{\tan }^2\theta$

বা, $18{\tan }^2\theta =8$

বা, ${\tan }^2\theta =\frac{4}{9}$

বা, $\tan \theta =\frac{2}{3}$

বা, $\theta ={\tan }^{-1}\frac{2}{3}$

বা, $\frac{1}{2}\beta ={\tan }^{-1}\frac{2}{3}$

এবং $\cot \gamma =2$

বা, $\gamma ={\cot }^{-1}2={\tan }^{-1}\frac{1}{2}$

বামপক্ষ $=\alpha +\frac{1}{2}\beta -\gamma$

$={\tan }^{-1}\frac{3}{4}+{\tan }^{-1}\frac{2}{3}-{\tan }^{-1}\frac{1}{2}$

$={\tan }^{-1}\frac{\frac{3}{4}+\frac{2}{3}}{1-\frac{3}{4}\frac{2}{3}}-{\tan }^{-1}\frac{1}{2}$

$={\tan }^{-1}\frac{9+8}{12-6}-{\tan }^{-1}\frac{1}{2}$

$={\tan }^{-1}\frac{17}{6}-{\tan }^{-1}\frac{1}{2}$

$={\tan }^{-1}\left(\frac{\frac{17}{6}-\frac{1}{2}}{1+\frac{17}{6}\cdot \frac{1}{2}}\right)$

$={\tan }^{-1}\left(\frac{34-6}{12+17}\right)={\tan }^{-1}\frac{28}{29}=$ = ডানপক্ষ

$\therefore \alpha +\frac{1}{2}\beta -\gamma ={\tan }^{-1}\frac{28}{29}$ (দেখানো হলো)

দৃশ্যকল্প-২ এ, $f\left(x\right)=\sin x$

দেওয়া আছে,

$f(\frac{\pi }{2}-6x)+f(\frac{\pi }{2}-4x)=f\left(3x\right)+f\left(x\right)$

বা, $\sin (\frac{\pi }{2}-6x)+\sin (\frac{\pi }{2}-4x)=\sin 3x+\sin x$

বা, $\cos 6x+\cos 4x=\sin 3x+\sin x$

বা, $2\cos \frac{6x+4x}{2}\cdot \cos \frac{6x-4x}{2}=2\sin \frac{3x+x}{2}\cdot \cos \frac{3x-x}{2}$

বা, $\cos 5x\cdot \cos x=\sin 2x\cdot \cos x$

বা, $\cos 5x\cdot \cos x-\sin 2x\cdot \cos x=0$

বা, $\cos x\{\cos 5x-\sin 2x\}=0$

হয়, $\cos x=0$

বা, $x=(2n+1)\frac{\pi }{2}$, যেখানে $n\in z$

অথবা, $\cos 5x-\sin 2x=0$

বা, $\cos 5x-\cos (\frac{\pi }{2}-2x)=0$

বা, $2\sin \frac{5x+\frac{\pi }{2}-2x}{2}\cdot \sin \frac{\frac{\pi }{2}-2x-5x}{2}=0$

বা, $\sin \left(\frac{\frac{\pi }{2}+3x}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{\frac{\pi }{2}-7x}{2}\right)=0$

হয়, $\sin \left(\frac{\frac{\pi }{2}+3x}{2}\right)=0$

বা, $\frac{\frac{\pi }{2}+3x}{2}=n\pi$; যেখানে $n\in Z$

বা, $3x+\frac{\pi }{2}=2n\pi$

বা, $3x=2n\pi -\frac{\pi }{2}$

বা, $x=\frac{1}{3}(2n\pi -\frac{\pi }{2})$

অথবা, $\sin \left(\frac{\frac{\pi }{2}-7x}{2}\right)=0$

বা, $\frac{\frac{\pi }{2}-7x}{2}=n\pi$; যেখানে $n\in z$

বা, $\frac{\pi }{2}-7x=2n\pi$

বা, $7x=\frac{\pi }{2}-2n\pi$

বা, $x=\frac{1}{7}\{\frac{\pi }{2}-2n\pi \},n\in Z$

নির্ণেয় সমাধান : $(2n+1)\frac{\pi }{2},\frac{1}{3}(2n\pi -\frac{\pi }{2}),\frac{1}{7}\{\frac{\pi }{2}-2n\pi \}$.