সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: cot⁡θ−tan⁡θ=65.দৃশ্যকল্প-২: 2sin⁡2θ+2(sin⁡θ+cos⁡θ)+1=0.…’ যশোর বোর্ড ২০১৭ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে,

$\cot \theta -\tan \theta =\frac{6}{5}$

বা, $\frac{\cos \theta }{\sin \theta }-\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{6}{5}$

বা, $\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{\sin \theta \cos \theta }=\frac{6}{5}$

বা, $\frac{{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }{2\sin \theta \cos \theta }=\frac{3}{5}$

বা, $\frac{\cos 2\theta }{\sin 2\theta }=\frac{3}{5}$

বা, $\cot 2\theta =\frac{3}{5}$

বা, $2\theta ={\cot }^{-1}\frac{3}{5}={\sin }^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}$

$\therefore \theta =\frac{1}{2}{\sin }^{-1}\frac{5}{\sqrt{34}}$. (প্রমাণিত)

দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ,

$2\sin 2\theta +2(\sin \theta +\cos \theta )+1=0$

বা, $2.2\sin \theta \cos \theta +2\sin \theta +2\cdot \cos \theta +1=0$

বা, $2\sin \theta (2\cos \theta +1)+1(2\cos \theta +1)=0$

বা, $(2\cos \theta +1)(2\sin \theta +1)=0$

হয় $2\cos \theta +1=0$

বা, $2\cos \theta =-1$

বা, $\cos \theta =-\frac{1}{2}$

বা, $\cos \theta =\cos \frac{2\pi }{3}$

বা, $\theta =2n\pi \pm \frac{2\pi }{3}$ যেখানে $n\in Z$

আবার, $2\sin \theta +1=0$

বা, $2\sin \theta =-1$

বা, $\sin \theta =-\frac{1}{2}$

বা, $\sin \theta =\sin (-\frac{\pi }{6})$

বা, $\theta =n\pi +(-1{)}^n(-\frac{\pi }{6})$ যেখানে $n\in Z$

নির্ণেয় সমাধান : $\theta =2n\pi \pm \frac{2\pi }{3},n\pi +(-1{)}^n(-\frac{\pi }{6})$ যেখানে $n\in Z$.