সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দৃশ্যকল্প-২ :…’ ২০২৬ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, শীর্ষবিন্দু A(3, - 1) এবং উপকেন্দ্র S(5,0)

মনে করি, নিয়ামকরেখার পাদবিন্দু Z( $x_1,y_1)ZS$ এর মধ্যবিন্দু $(\frac{x_1+5}{2},\frac{y_1+0}{2})$

শর্তমতে, $\frac{x_1+5}{2}=3$
বা, $x_1+5=6$
বা, $x_1=6-5$

$\therefore x_1=1$
$\therefore Z=(1,-2)$

এবং $\frac{y_1+0}{2}=1$
বা, $\frac{y_1}{2}=-1$

$\therefore y_1=-2$

AS রেখার সমীকরণ, $\frac{x-3}{3-5}=\frac{y+1}{-1-0}$
বা, $\frac{x-3}{-2}=\frac{y+1}{-1}$
বা, $x-3=2y+2$

$\therefore x-2y-5=0$

নিয়ামক রেখা MZM' হচ্ছে অক্ষরেখা যা AS রেখার লম্ব।
এখন, AS রেখার লম্বরেখার সমীকরণ, $2x+y+k=0$ . . . . . .(2) যা
$(1,-2)$ বিন্দুগামী। 
অর্থাৎ, $2-2+k=0\therefore k=0$
সুতরাং, k এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই, $2x+y=0$
∴ নিয়ামক রেখা MZM' এর সমীকরণ $2x+y=0$

মনে করি, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$
পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,

$\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$

$\sqrt{(x-5{)}^2+(y-0{)}^2}=\left|\frac{2x+y}{\sqrt{2^2+1^2}}\right|$

বা, $\sqrt{(x-5{)}^2+y^2}=\left|\frac{2x+y}{\sqrt{5}}\right|$
বা, $(x-5{)}^2+y^2=\frac{(2x+y{)}^2}{5}$ [বর্গ করে]
বা, $5(x^2-10x+25)+5y^2=4x^2+4xy+y^2$
বা, $5x^2-50x+125+5y^2-4x^2-4xy-y^2=0$

$\therefore x^2+4y^2-4xy-50x+125=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ, $x^2+4y^2-4xy-50x+125=0$.

এখানে, উপকেন্দ্রদ্বয় $S_1(3,-1),S_2(1,-1)$

এবং উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{\sqrt{5}}$
মনে করি, উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\alpha ,\beta )=(\frac{3+1}{2},\frac{-1-1}{2})$

$=(2,-1)$

মনে করি, উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{(x-\alpha {)}^2}{a^2}+\frac{(y-\beta {)}^2}{b^2}=1$ . . . . . .(1)
(1) নং সমীকরণে, $\alpha$ এবং $\beta$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{(x-2{)}^2}{a^2}+\frac{(y+1{)}^2}{b^2}=1$ . . . . . .(2)

উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক ( $\pm ae+\alpha ,\beta$ )

ধরি, $S_1(3,-1)=(ae+\alpha ,\beta )$

এবং $S_2(1,-1)=(-ac+\alpha ,\beta )$

সুতরাং, $ae+\alpha =3$
বা, $a\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}+2=3$
বা, $\frac{a}{\sqrt{5}}=3-2=1$
$\therefore a=\sqrt{5}$

আবার, উৎকেন্দ্রিকতা,

$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

বা, $\sqrt{1-\frac{b^2}{(\sqrt{5}{)}^2}=\frac{1}{\sqrt{5}}}$
বা, $1-\frac{b^2}{(\sqrt{5}{)}^2}=\frac{1}{5}$ [বর্গ করে]
বা, $1-\frac{b^2}{5}=\frac{1}{5}$
বা, $\frac{b^2}{5}=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$
বা, $b^2=4$
$\therefore b=2$

সুতরাং (2) নং সমীকরণে $a$ এবং $b$ এর মান বসিয়ে পাই, $\frac{(x-2{)}^2}{5}+\frac{(y+1{)}^2}{4}=1$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ $\frac{(x-2{)}^2}{5}+\frac{(y+1{)}^2}{4}=1$.