সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দৃশ্যকল্প-২: 2a…’ ২০২৬ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, A ও B বিন্দুতে ক্রিয়াশীল P ও Q বলদ্বয়ের লব্ধি R; যা C বিন্দুতে ক্রিয়াশীল । 

এক্ষেত্রে, $P\cdot \mathrm{AC}=Q\cdot \mathrm{BC}$ 

বা, $\frac{AC}{BC}=\frac{Q}{P}$
বা, $\frac{\mathrm{AC}+\mathrm{BC}}{\mathrm{BC}}=\frac{Q+P}{P}$ [যোজন করে]
বা, $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{P+Q}{P}$
বা, $(P+Q)\cdot BC=P\cdot AB$

$\therefore BC=\frac{P}{P+Q}AB$ 

পরবর্তীতে P বলকে A বিন্দু হতে AD = x দূরত্বে D বিন্দুতে সরালে এর লব্ধি R ; যা C বিন্দু হতে ${\mathrm{CC}}^{\prime }=d$ দূরত্বে $C^{\prime }$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

এক্ষেত্রে, $P\cdot C^{\prime }D=Q\cdot {\mathrm{BC}}^{\prime }$ 

বা, $\frac{C^{\prime }D}{B{C}^{\prime }}=\frac{Q}{P}$
বা, $\frac{C^{\prime }D+{\mathrm{BC}}^{\prime }}{{\mathrm{BC}}^{\prime }}=\frac{Q+P}{P}$ [যোজন করে]
বা, $\frac{\mathrm{BD}}{{\mathrm{BC}}^{\prime }}=\frac{P+Q}{P}$
বা, $(P+Q)B{C}^{\prime }=P\cdot BD$
$\therefore {\mathrm{BC}}^{\prime }=\frac{P}{P+Q}\mathrm{BD}$
এখন, $d={\mathrm{CC}}^{\prime }=\mathrm{BC}-{\mathrm{BC}}^{\prime }$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{P}{P+Q}AB-\frac{P}{P+Q}BD\\ & =\frac{P}{P+Q}(AB-BD)\\ & =\frac{Px}{P+Q}[\because AB-BD=AD=x]\end{array}$ 
$\therefore d=\frac{Px}{P+Q}$. (প্রমাণিত) 

[বি. দ্র: শেষ লাইনের পরিবর্তে হবে লব্ধি $\frac{Px}{P+Q}$ একক দূরত্ব সরে যায়]

মনেকরি, $AB=2I$ দৈর্ঘ্যর তক্তাটি C ও D বিন্দুতে দুটি খুটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থাপিত যেখানে CD = d এব ওজন P যা এর মধ্যবিন্দু O তে ক্রিয়া করে।

$\therefore OA=OB=\frac{2l}{2}=l$

তক্তাটি না উল্টিয়ে A প্রান্তে P ওজন ঝুলানো যায়। তখন D বিন্দুতে চাপ শূন্য এবং A ও O তে কার্যরত ওজনের লব্ধি $(P+Q),C$ তে ক্রিয়া করে।

$\therefore Q\times AC=P\times OC$

$\Rightarrow \frac{AC}{OC}=\frac{P}{Q}$

$\Rightarrow \frac{AC+OC}{OC}=\frac{P+Q}{Q}$

$\Rightarrow OC=\frac{Q}{P+Q}AO$

$\therefore OC=\frac{Q}{P+Q}I\dots \dots \left(i\right)$

আবার, B প্রান্তে R ওজন স্থাপন করলে C বিন্দুতে চাপ শূন্য এবং O ও B তে কার্যরত ওজনের লব্ধি (P+R), D বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

$\therefore P\times OD=R\times BD$

$\Rightarrow \frac{BD}{OD}=\frac{P}{R}$

$\Rightarrow \frac{BD+OD}{OD}=\frac{P+R}{R}$

$\Rightarrow \frac{OB}{OD}=\frac{R+R}{R}$

$\therefore OD=\frac{R}{P+R}OB=\frac{R}{P+R}l......\left(ii\right)$

(i) + (ii)

$OC+OD=l(\frac{Q}{P+Q}+\frac{R}{P+R})$

$\Rightarrow \frac{Q}{P+Q}+\frac{R}{P+R}=\frac{d}{l}$ (প্রমাণিত)

[বি. দ্র: P, Q, R, d, । এর পরিবর্তে যথাক্রমে W, W1, W2, b, a হবে]