সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:দৃশ্যকল্প-২: 2×2+2y2+8x−12y−38=0.…’ সিলেট এমসি কলেজ ২০২৬ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ, $x^2+y^2+2\mathrm{gx}+2\mathrm{fy}+c=0$ ......... (1)

বৃত্তটি $x$ অক্ষকে $(2,0)$ বিন্দুতে স্পর্শ করে।

$\therefore g^2=c$ ........ (2)

এবং $(2,0)$ বিন্দু দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

$\therefore 2^2+0^2+2.g.2+2.f.0+c=0$

বা, $4g+c+4=0$

বা, $4g+g^2+4=0$ [(2) নং হতে]

বা, $g^2+2.g.2+2^2=0$

বা, $(g+2{)}^2=0$

বা, $g+2=0$

$\therefore g=-2$

(2) নং হতে, $c=g^2=(-2{)}^2=4$

আবার, (1) নং বৃত্তটি $(3,-1)$ বিন্দুগামী

$\therefore 3^2+(-1{)}^2+2\cdot g\cdot 3+2\cdot f(-1)+c=0$

$6g-2f+c+10=0$

$6(-2)-2f+4+10=0$

$2f=-12+4+10=2$

$\therefore f=1$

∴ ব্যাসার্ধ, $a=\sqrt{g^2+f^2-c}=\sqrt{(-2{)}^2+1^2-4}=1$

ধরি, কেন্দ্রের পোলার স্থানাঙ্ক ( $r_0,\phi$ )

$\therefore r_0=\sqrt{g^2+f^2}=\sqrt{(-2{)}^2+(1{)}^2}=\sqrt{5}$

এবং $\tan \phi =\frac{f}{g}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$

$\therefore \sin \phi =\frac{-1}{\sqrt{5}}[\because$ কেন্দ্র ৪র্থ চতুর্ভাগে $]$ 

এবং $\cos \phi =\frac{2}{\sqrt{5}}$

∴ বৃত্তটির পোলার সমীকরণ,

$r^2-2r_0\cos \theta \cos \phi -2r_0\sin \theta \sin \phi +r_0^2-a^2=0$

বা, $r^2-2r\sqrt{5}\cos \theta \frac{2}{\sqrt{5}}-2r\sqrt{5}\sin \theta (-\frac{1}{\sqrt{5}})+5-1=0$

বা, $r^2-4r\cos \theta +2r\sin \theta +4=0$

নির্ণেয় বৃত্তটির পোলার সমীকরণ, $r^2-4r\cos \theta +2r\sin \theta +4=0$.

দেওয়া আছে, $2x^2+2y^2+8x-12y-38=0$

$\therefore x^2+y^2+4x-6y-19=0$ ...... (1)

বৃত্তের কেন্দ্র $(-2,3)$ এবং ব্যাসার্ধ, $r=\sqrt{2^2+(-3{)}^2-(-19)}$

$=\sqrt{4+9+19}=\sqrt{32}$

ধরি, স্পর্শকের সমীকরণ, $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$

$\therefore x+y-a=0$ ......... (2)

(2) নং সরলরেখা (1) নং বৃত্তের স্পর্শক হবে যদি

$\frac{|-2+3-a|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\sqrt{32}$ হয় 

বা, $\frac{|1-a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{32}$

বা, $(1-a\mid {)}^2=(\sqrt{32}\sqrt{2}{)}^2$

বা, $1-2a+a^2=64$

বা, $a^2-2a-63=0$

বা, $a^2-9a+7a-63=0$

বা, $a(a-9)+7(a-9)=0$

বা, $(a-9)(a-7)=0$

$\therefore a=-9,7$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $x+y+9=0$ এবং $x+y-7=0$.