সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:দৃশ্যকল্প-২: 3x+4y=2…’ সরকারি মাইকেল মধুসূদন (এম.এম) কলেজ ২০২৫ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, বৃজের সমীকরণ, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ..... (i) 

বৃত্তটি $y$ অক্ষকে স্পর্শ করে

$\therefore c=f^2$

আবার বৃত্তটি $(0,-3)$ বিন্দুগামী

বা, $c-6f+9=0$

বা, $f^2-6f+9=0[\because c=f^2]$

বা, $(f-3{)}^2=0$

বা, $f-3=0$

$\therefore f=3$

আবার, $c=f^2$

বা, $c=3^2$

$\therefore c=9$

বৃত্তটি দ্বারা $x$-অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য, AB = 8 একক

$\therefore 2\sqrt{g^2-c}=8$

বা, $\sqrt{g^2-c}=4$

বা, $g^2-c=16$

বা, $g^2-9=16$

বা, $g^2=25$

বা, $g=\pm \sqrt{25}=\pm 5$

$\therefore g=\pm 5$

যেহেতু $g\ne 5$ সেহেতু $g=-5$

(i) নং সমীকরণে $g,f$ ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2\cdot (-5)\cdot x+2.3.y+9=0$

বা, $x^2+y^2-10x+6y+9=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-10x+6y+9=0$.

খ-হতে প্রাপ্ত, বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2-10x+6y+9=0$

বা, $x^2+y^2+2\cdot (-5)x+2\cdot 3\cdot y+9=0$

এখানে, $g=-5,f=3$ এবং $c=9$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $=(-g,-f)=(5,-3)$

এবং ব্যাসার্ধ $=\sqrt{g^2+f^2-c}$ একক

$=\sqrt{(-5{)}^2+3^2-9}$ একক

$=\sqrt{25+9-9}$ একক

$=\sqrt{25}$ একক

= 5 একক

দৃশ্যকল্প-2 এর প্রদত্ত রেখা, $3x+4y=2$

বা, $3x+4y-2=0$

রেখাটির উপর লম্ব রেখার সমীকরণ

$4x-3y+k=0$ ...... (ii)

যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র হতে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমান।

যেহেতু $\left|\frac{4.5-3.(-3)+k}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}\right|=5$

বা, $\left|\frac{20+9+k}{\sqrt{16+9}}\right|=5$

বা, $\left|\frac{k+29}{\sqrt{25}}\right|=5$

বা, $\left|\frac{k+29}{5}\right|=5$

বা, $\frac{(k+29{)}^2}{25}=25$ [বর্গ করে]

বা, $k^2+58k+841=625$.

বা, $k^2+58k+841-625=0$

বা, $k^2+58k+216=0$

বা, $k^2+4k+54k+216=0$

বা, $k(k+4)+54(k+4)=0$

বা, $(k+4)(k+54)=0$

$\therefore k=-4,-54$

$k$ এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

$k=-4$  হলে, $4x-3y-4=0$

$k=-54$  হলে, $4x-3y-54=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণদ্বয়, $4x-3y-4=0$

এবং $4x-3y-54=0$