সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দৃশ্যকল্প-২: 4×2+5y2−16x+10y+1=0…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২১ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র $S(3,4)$

শীর্ষবিন্দু $A(0,0)$

$A,ZS$ এর মধ্যবিন্দু। ধরি $Z$ এর স্থানাঙ্ক $(\alpha ,\beta )$

$\frac{\alpha +3}{2}=0\frac{\beta +4}{2}=0$

$\therefore \alpha =-3\therefore \beta =-4$

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $-3,-4$

$ZS$ রেখার সমীকরণঃ

$\begin{array}{cc}& \frac{x+3}{-3-3}=\frac{y+4}{-4-4}\\ & \Rightarrow \frac{x+3}{-6}=\frac{y+4}{-8}\\ & \Rightarrow \frac{x+3}{3}=\frac{y+4}{4}\\ & \Rightarrow 4x+12=3y+12\\ & \Rightarrow 4x-3y=0---\left(1\right)\end{array}$

(1) নং এর লম্ব রেখার সমীকরণঃ

$3x+4y+k=0---\left(2\right)$

ইহা $Z(-3,-4)$ বিন্দুগামী হলে,

$-9-16+k=0$

$\Rightarrow k=25$

এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$3x+4y+25=0$

ইহাই নিয়ামক $\left(MZ\right)$ রেখার সমীকরণ।

ধরি, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$

$\therefore$ পরাবৃত্তের সংজ্ঞা থেকে পাই,

$SP=PM$

$\Rightarrow S{P}^2=P{M}^2$

$\Rightarrow (x-3{)}^2+(y-4{)}^2=\frac{1}{25}(3x+4y+25{)}^2$

$\Rightarrow 25(x^2-6x+9+y^2-8y+16)=$

$9x^2+16y^2+625+24xy+200y+150x$

$\Rightarrow 16x^2+9y^2-24xy-300x-400y=0$

$\Rightarrow (4x{)}^2+(3y{)}^2-2.4x.3y-300x-400y$

$=0$

$\therefore (4x-3y{)}^2-300x-400y=0$

ইহাই নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ।

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

$\begin{array}{cc}& 4x^2+5y^2-16x+10y+1=0\\ & \Rightarrow 4(x^2-4x)+5(y^2+2y)=-1\\ & \Rightarrow 4(x^2-2\cdot x\cdot +2^2)+5(y^2+2\cdot y\cdot 1+1^2)\\ & =-1+16+5\\ & \Rightarrow 4(x-2{)}^2+5(y+1{)}^2=20\\ & \Rightarrow \frac{(x-2{)}^2}{5}+\frac{(y+1{)}^2}{4}=1\\ & \Rightarrow \frac{X^2}{(\sqrt{5}{)}^2}+\frac{Y^2}{2^2}=1\end{array}$

যেখানে,

$X=x-2,Y=y+1$

$\therefore a=\sqrt{5},b=\sqrt{4}=2(a>b)$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য

$=\frac{2b^2}{a}=\frac{2.4}{\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}$

$\therefore$ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(\pm ae,0)$

$\begin{array}{cc}& X=\pm ae\\ & \Rightarrow x-2=\pm \sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\pm 1\\ & \therefore x=3,1\\ & Y=0\end{array}$

$\begin{array}{cc}& \Rightarrow y+1=0\\ & \therefore y=-1\end{array}$

$\therefore x=3,1$

$\therefore$ উপকেন্দ্র $(3,-1)(1,-1)$

$\therefore$ নিয়ামক রেখার সমীকরণঃ

$X=\pm \frac{a}{e}=\pm \frac{\sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\pm 5$

$\Rightarrow x-2=\pm 5$

$\Rightarrow x=2\pm 5$

(+) নিয়ে,

$\Rightarrow x-7=0$

(-) নিয়ে,

$\Rightarrow x+3=0$

উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা $=\frac{1}{\sqrt{5}}$,

উপকেন্দ্রিক 'লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{8}{\sqrt{5}}$ '

উপকেন্দ্র $=(3,-1)(1,-1)$ ও

নিয়ামক রেখার সমীকরণ , $x-7=0$ ও

$x+3=0$