সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:দৃশ্যকল্প-২ : (a−bcos⁡2α)=P…’ রংপুর ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছ, $a-b\cos 2\alpha =P$ এবং $a-b\cos 2\beta =Q$

এবং$\tan \alpha \cdot \tan \beta =\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}$

বা, ${\tan }^2\alpha \cdot {\tan }^2\beta =\frac{a-b}{a+b}$ [বর্গ করে]

বা, ${\tan }^2\beta \times (a+b)=\frac{(a-b{)}^2}{{\tan }^2\alpha }$

$\therefore (a+b){\tan }^2\beta =(a-b){\cot }^2\alpha$

বামপক্ষ $=PQ=(a-b\cos 2\alpha )(a-b\cos 2\beta )$

$=(a-b\cos 2\alpha )\{a-b\cdot \frac{1-{\tan }^2\beta }{1+{\tan }^2\beta }\}$

$=(a-b\cos 2\alpha )\{a-b\frac{(a+b)-(a+b){\tan }^2\beta }{(a+b)+(a+b){\tan }^2\beta }\}$

$=(a-b\cos 2\alpha )\{a-b\frac{a+b-(a-b){\cot }^2\alpha }{a+b+(a-b){\cot }^2\alpha }\}$ [মান বসিয়ে]

$=(a-b\cos 2\alpha )\left\{\frac{a^2+ab+a^2{\cot }^2\alpha -ab{\cot }^2\alpha -ab-b^2+ab{\cot }^2\alpha -b^2{\cot }^2\alpha }{(a+b)+(a-b){\cos }^2\alpha }\right\}$

$=(a-b\cos 2\alpha )\left\{\frac{a^2(1+{\cot }^2\alpha )-b^2(1+{\cot }^2\alpha )}{(a+b)+(a-b){\cot }^2\alpha }\right\}$

$=(a-b\cos 2\alpha )\left\{\frac{(a^2-b^2)(1+{\cot }^2\alpha )}{(a+b)+(a-b){\cot }^2\alpha }\right\}$

$=(a-b\cos 2\alpha )\left\{\frac{a^2-b^{2}a(1+{\cot }^2\alpha )-b({\cot }^2\alpha -1)}{1+{\cot }^2\alpha }\right\}$

$=\frac{(a-b\cos 2\alpha )(a^2-b^2)}{a-b\cdot \frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }}=\frac{(a-b\cos 2\alpha )(a^2-b^2)}{(a-b\cos 2\alpha )}=a^2-b^2$

= ডানপক্ষ

$\therefore \mathrm{PQ}=a^2-b^2$. (দেখানো হলো)

$ABC$ ত্রিডুজে $AB=c$

$BC=a$

$AC=b$

$A+B+C=\pi$

ডানপক্ষ $=(AC-AB)(1+\cos A)$

$=(b-c)\cdot 2{\cos }^2\frac{A}{2}=2a\cdot \frac{b-c}{a}\cdot {\cos }^2\frac{A}{2}$

$=2a\cdot \frac{2R\sin B-2R\sin C}{2R\sin A}\cdot {\cos }^2\frac{A}{2}$

$[\because \Delta ABC-\Theta \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R;$ যেখানে R হচ্ছে ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ]

$=2a\cdot \frac{\sin B-\sin C}{\sin A}\cdot {\cos }^2\frac{A}{2}$

$=2a\cdot \frac{2\cos \frac{B+C}{2}\cdot \sin \frac{B-C}{2}}{\sin A}\cdot {\cos }^2\frac{A}{2}$

$=2a\cdot \frac{2\cos \frac{\pi -A}{2}\cdot \sin \frac{B-C}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cdot \cos \frac{A}{2}}\cdot {\cos }^2\frac{A}{2}[\because A+B+C=\pi ]$

$=2a\cdot \frac{\sin \frac{A}{2}\cdot \sin \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}\cdot \cos \frac{A}{2}=2a\cdot \sin \frac{B-C}{2}\cdot \cos \frac{A}{2}$

$=2a\cdot \sin \frac{B-C}{2}\cdot \cos \frac{\pi -(B+C)}{2}[\because A+B+C=\pi ]$

$=2a\cdot \sin \frac{B-C}{2}\cdot \sin \frac{B+C}{2}=a(2\sin \frac{C+B}{2}\cdot \sin \frac{B-C}{2})$

$=a\cdot (\cos C-\cos B)=a\cos C-a\cos B$

$=BC\cos C-BC\cos B=$ ডানপক্ষ

$\therefore BC\cos C-BC\cos B=(AC-AB)(1+\cos A)$. (প্রমাণিত)