সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : দৃশ্যকল্প-২…’ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৪ – দ্বিপদী বিস্তৃতি, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $s(2,0)$ ও $s^{\prime }(-2,0)$

$P(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{15}}{2})$ বিন্দুটি উপবৃত্তের ওপর অবস্থিত।

উপকেন্দ্র দুটির মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক = $(\frac{2-2}{2},\frac{0+0}{2})=\left(0.0\right)$

উপকেন্দ্র দুটির কোট = 0

উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষ x-অক্ষ ও ক্ষুদ্র অক্ষ y-অক্ষ।

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ যেখানে, $a>b$

$s^{\prime }p+sp$ = বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য = 2a.

বা, $\sqrt{(2-3/2{)}^2+{(0-\frac{\sqrt{15}}{2})}^2}+\sqrt{(-2\cdot 3/2{)}^2+{(0-\frac{\sqrt{15}}{2})}^2}=2a$

বা, $\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{(-\frac{-15}{2})}^2}+\sqrt{{(-\frac{7}{2})}^2+{(-\frac{\sqrt{15}}{2})}^2}=2a$

বা, $\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{15}{4}}+\sqrt{\frac{99}{4}+\frac{15}{4}}=2a$

বা, $\sqrt{\frac{16}{4}}+\sqrt{\frac{64}{4}}=2a$.

বা, $\sqrt{4}+\sqrt{16}=2a$

বা, $2+4=2a$

$\therefore a=3$

উপকেন্দ্র দুইটির দূরত্ব, $2\sqrt{a^2-b^2}=|2+2|$

বা, $2\sqrt{g-b^2}=4$

বা, $4(g-b^2)=16$

বা, $a+b^2=4$

$\therefore b^2=5$

উপবৃত্তটির সমীকরণ হবে : $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$

$S(5,0),S^{\prime }(-5,0)$

$A(4,0),A^{\prime }(-4,0)$

$S{S}^{\prime }=\sqrt{(5+5{)}^2+(0+0{)}^2}=\sqrt{{10}^2}=10$

$A{A}^{\prime }=\sqrt{(4+4{)}^2+(0+0{)}^2}=\sqrt{8^2}=8$

ধরি, অধিবৃত্তের সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ..... (i)

$S{S}^{\prime }$ উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 10

বা, $2a{e}^2=10$ ..... (ii)

$A{A}^{\prime }$ = শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 8

বা, $2a=8$

$\therefore a=4$

(ii) নং থেকে,$2\cdot 4\cdot l=10$

বা, $e=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$

বা, $\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{4}$

বা, $1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{25}{18}$ (বর্গ করে)

বা, $\frac{b^2}{16}=\frac{25}{16}-1$

বা, $\frac{b^2}{16}=\frac{9}{16}$ বা, $b^2=9$ বা, $b=3$

(i) নং এ a ও b এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$

বা, $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=7$