সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ :দৃশ্যকল্প-২ :…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে,

$a^4+b^4+c^4=2b^2(a^2+c^2)$

বা, $a^4+b^4+c^4-2a^2{b}^2-2b^2{c}^2=0$

বা, $a^4+b^4+c^4+2a^2{c}^2-2b^2{c}^2-2a^2{b}^2=2a^2{c}^2$

বা, ${(a^2+c^2-b^2)}^2=2a^2{c}^2$

বা, $a^2+c^2-b^2=\pm \sqrt{2}ac$

বা, $\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\pm \frac{\sqrt{2}ac}{2ac}$

বা, $\cos B=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}[\because △\mathrm{ABC}-a\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2\mathrm{ac}}]$

$\therefore \cos B=\frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos B=\cos {45}^{\circ }$

$\therefore B={45}^{\circ }$

অথবা, $\cos B=\frac{-1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos B=\cos {135}^{\circ }$

$\therefore B={135}^{\circ }$

অতএব, $\angle B={45}^{\circ }$ বা, ${135}^{\circ }$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$\sin 2\alpha =Q-\sin 2\beta$

বা, $\sin 2\alpha +\sin 2\beta =Q$

বা, $2\sin (\alpha +\beta )\cdot \cos (\alpha -\beta )=Q$ ......... (i)

এবং $\cos 2\beta =p-\cos 2\alpha$

বা, $\cos 2\alpha +\cos 2\beta =p$

বা, $2\cos (\alpha +\beta )\cdot \cos (\hat{\alpha }-\beta )=P$ .......... (ii)

(i)নং কে (ii) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{2\sin (\alpha +\beta )\cdot \cos (\alpha -\beta )}{2\cos (\alpha +\beta )\cdot \cos (\alpha -\beta )}=\frac{Q}{P}$

বা, $\tan (\alpha +\beta )=\frac{Q}{P}$

বা, ${\tan }^2(\alpha +\beta )=\frac{Q^2}{P^2}$ [বর্গ করে]

বা, ${\sec }^2(\alpha +\beta )-1=\frac{Q^2}{P^2}$

বা, ${\sec }^2(\alpha +\beta )=\frac{Q^2}{P^2}+1$

বা, $\frac{1}{{\cos }^2(\alpha +\beta )}=\frac{P^2+Q^2}{P^2}$

বা, ${\cos }^2(\alpha +\beta )=\frac{P^2}{P^2+Q^2}$

$\therefore \cos (\alpha +\beta )=\pm \frac{P}{\sqrt{P^2+Q^2}}$. (প্রমাণিত)