সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দৃশ্যকল্প -২:…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, উপবৃত্তটির সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$...\left(1\right)$

উদ্দীপক হতে, উপবৃত্তের কেন্দ্র $C(0,0)$

উপকেন্দ্রদ্বয় $(0,\pm be)=(0,\pm 3)$
এবং নিয়ামক রেখা $3y\pm 25=0$
বা, $y=\pm \frac{25}{3}$
$\therefore$ নিয়ামকের পাদবিন্দু $(0,\pm \frac{b}{e})=(0,\pm \frac{25}{3})$
$\therefore$ be $=3$$$
এবং $\frac{b}{e}=\frac{25}{3}$$$
$\left(2\right)$ নং কে $\left(3\right)$ নং দ্বারা ভাগ করে পাই, $\frac{be}{\frac{b}{e}}=\frac{3}{\frac{25}{3}}$ 

বা, $e^2=\frac{9}{25}$

$\therefore e=\frac{3}{5}$ 

$\left(1\right)$নং হতে, $\mathrm{be}=3$ বা, $b\times \frac{3}{5}=3$

$\therefore b=5$

আবার, $a=b\sqrt{1-e^2}=5\times \sqrt{1-\frac{9}{25}}=5\times \frac{4}{5}=4$

এখন, a ও b এর মান $\left(1\right)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$ নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$. 

দৃশ্যকল্প-২ হতে, $9x^2-16y^2+72x-32y=36$
বা, $9(x^2+8x)-16(y^2+2y)=36$
বা, $9(x^2+2\cdot x\cdot 4+4^2-4^2)-16(y^2+2\cdot y\cdot 1+1^2-1^2)=36$
বা, $9(x+4{)}^2-144-16(y+1{)}^2+16=36$
বা, $9(x+4{)}^2-16(y+1{)}^2=164$
বা, $\frac{(x+4{)}^2}{\frac{164}{9}}-\frac{(y+1{)}^2}{\frac{41}{4}}=1$
বা, $\frac{(x+4{)}^2}{{\left(\frac{2\sqrt{41}}{3}\right)}^2}-\frac{(y+1{)}^2}{{\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)}^2}=1$
ইহাই প্রমিত আকারের সমীকরণ।
যেখানে, $a=\frac{2\sqrt{41}}{3},b=\frac{\sqrt{41}}{2}$

$\therefore e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{\frac{41}{4}}{\frac{164}{9}}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$

$\therefore$ নিয়ামকের সমীকরণ, $x-\alpha =\pm \frac{a}{e}$
বা, $x+4=\pm \frac{2\sqrt{41}}{3}\times \frac{4}{5}$
বা, $x=-4\pm \frac{8\sqrt{41}}{15}$
ইহাই নির্শেয় নিয়ামক্ষয়ের সমীকরণ।