সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : দৃশ্যকল্প-২:…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, অক্ষরেখা ও নিয়ামক রেখার ছেদবিন্দু $Z(1,1)$ এবং শীর্ষবিন্দু $A(2,2)$

ধরি, উপকেন্দ্র $S(\alpha ,\beta )$

পরাবৃত্তের ক্ষেত্রে $Z$ ও $S$ এর মধ্যবিন্দু $A$

$\therefore \frac{\alpha +1}{2}=2$

$\alpha +1=4$

বা, $\alpha =4-1=3$

$\frac{\beta +1}{2}=2$

বা, $\beta +1=4$

বা, $\beta =4-1=3$

$\therefore$ উপকেন্দ্র $S(3,3)$

অক্ষরেখার সমীকরণ, অর্থাৎ $A$ ও Z

বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ, $y-1=\frac{2-1}{2-1}(x-1)$

বা, $y-1=x-1$ বা, $y=x$

$\therefore x-y=0$

আবার, নিয়ামকরেখা অক্ষ রেখার ওপর লম্ব বলে নিয়ামক রেখার সমীকরণ $x+y+k=0$ ........ (1)

(2) নং রেখা $Z(1,1)$ বিন্দুগামী

$\therefore 1+1+k=0$

বা, $2+k=0$

$\therefore k=-2$

$k$ এর মান (1) নং সমীকরণে বंসিয়ে পাই, $x+y-2=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র $(3,3)$ এবং নিয়ামকরেখার সমীকরণ, $x+y-2=0$.

প্রদত্ত কনিকের সমীকরণ,

$4x^2+5y^2+10y-16x+1=0$

বা, $4(x^2-4x)+5(y^2+2y)+1=0$

বা, $4(x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2)+5(y^2+2\cdot y\cdot 1+1^2)+1-5-16=0$

বা, $4(x-2{)}^2+5(y+1{)}^2=20$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{5}+\frac{(y+1{)}^2}{4}=1$ .......... (1)

$\therefore \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{4}=1$

এখানে, $X=x-2,Y=y+1$

বা, $\frac{X^2}{(\sqrt{5}{)}^2}+\frac{Y^2}{2^2}=1$ একে উপবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

এর সাথে তুলনা করে পাই,

$a=\sqrt{5},b=2$ অর্থাৎ, $a>b$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

উপকেন্দ্র ( $\pm \mathrm{ae},0)$

$=\sqrt{1-\frac{2^2}{(\sqrt{5}{)}^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$

অর্থাৎ, $X=\pm \mathrm{ae}$ এবং $Y=0$

বা, $x-2=\pm \sqrt{5}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$ বা, $y+1=0$

বা, $x-2=\pm 1\therefore y=-1$

বা, $x=2\pm 1$

$\therefore x=3,1$

$\therefore$ উকেন্দ্রস্বয় (3,-1) এবং (1,-1)

উপরেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{2b^2}{a}=\frac{2\times 4}{\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রদ্বয় $(3,-1),(1,-1)$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $\frac{8}{\sqrt{5}}$ একক।