সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ :দৃশ্যকল্প-২ :…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৩ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

$\cos x+\cos y=a...........\left(i\right)$

$\sin x+\sin y=b............\left(ii\right)$

(i) $÷$ (ii)

$\frac{\cos x+\cos y}{\sin x+\sin y}=\frac{a}{b}$

$\Rightarrow \frac{2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}}{2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}}=\frac{a}{b}$

$\Rightarrow \frac{{\cos }^2\frac{x+y}{2}}{{\sin }^2\frac{x+y}{2}}=\frac{a^2}{b^2}$

$\Rightarrow \frac{{\cos }^2\frac{x+y}{2}-{\sin }^2\frac{x+y}{2}}{{\cos }^2\frac{x+y}{2}+{\sin }^2\frac{x+y}{2}}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$

$\Rightarrow \frac{\cos (x+y)}{1}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$

$\therefore \cos (x+y)=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$

$ABC$ ত্রিভুজে $AB=c$
$BC=a$
$AC=b$
$A+B+C=\pi$

ডানপক্ষ $=(AC-AB)(1+\cos A)$
$=(b-c)\cdot 2{\cos }^2\frac{A}{2}=2a\cdot \frac{b-c}{a}\cdot {\cos }^2\frac{A}{2}$
$=2a\cdot \frac{2R\sin B-2R\sin C}{2R\sin A}\cdot {\cos }^2\frac{A}{2}$

$[\because \Delta ABC$-এ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R;$
যেখানে $R$ হচ্ছে ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ]

$=2a\cdot \frac{\sin B-\sin C}{\sin A}\cdot {\cos }^2\frac{A}{2}$

$=2a\cdot \frac{2\cos \frac{B+C}{2}\cdot \sin \frac{B-C}{2}}{\sin A}\cdot {\cos }^2\frac{A}{2}$

$=2a\cdot \frac{2\cos \frac{\pi -A}{2}\cdot \sin \frac{B-C}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cdot \cos \frac{A}{2}}\cdot {\cos }^2\frac{A}{2}[\because A+B+C=\pi ]$

$=2a\cdot \frac{\sin \frac{A}{2}\cdot \sin \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}\cdot \cos \frac{A}{2}$

$=2a\cdot \sin \frac{B-C}{2}\cdot \cos \frac{A}{2}$

$=2a\cdot \sin \frac{B-C}{2}\cdot \cos \frac{\pi -(B+C)}{2}[\because A+B+C=\pi ]$

$=2a\cdot \sin \frac{B-C}{2}\cdot \sin \frac{B+C}{2}=a(2\sin \frac{C+B}{2}\cdot \sin \frac{B-C}{2})$

$=a\cdot (\cos C-\cos B)$

$=a\cos C-a\cos B$

$=BC\cos C-BC\cos B=$ বামপক্ষ

$\therefore BC\cos C-BC\cos B=(AC-AB)(1+\cos A).$ (প্রমাণিত)