সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দৃশ্যকল্প-২: দুটি…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২১ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

সাম্যাবস্থার সূত্র প্রয়োগ করে,

$\begin{array}{cc}& \frac{P}{\sin \{2\pi -(2\alpha +\alpha \left)\right\}}=\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{R}{\sin 2\alpha }\\ & \Rightarrow \frac{P}{\sin (2\pi -3\alpha )}=\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{R}{\sin 2\alpha }\\ & \Rightarrow \frac{P}{-\sin 3\alpha }=\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{R}{\sin 2\alpha }\end{array}$

$\Rightarrow \frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{R}{2\sin \alpha \cos \alpha }$

$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{R}{2Q}$

আবার,

$\frac{P}{-(3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha )}=\frac{Q}{\sin \alpha }$

$\Rightarrow \frac{P}{-3+4{\sin }^2\alpha }=Q$

$\Rightarrow P=-3Q+4Q(1-{\cos }^2\alpha )$

$\Rightarrow P=-3Q+4Q(1-\frac{R^2}{4Q^2})$

$\Rightarrow P=-3Q+4Q\cdot \frac{4Q^2-R^2}{4Q^2}$

$\Rightarrow P=-3Q+\frac{4Q^2-R^2}{Q}$

$\Rightarrow P=\frac{-3Q^2+4Q^2-R^2}{Q}$

$\Rightarrow P=\frac{Q^2-R^2}{Q}$

$\Rightarrow Q^2-R^2=PQ$

$\Rightarrow R^2=Q^2-PQ$

$\therefore R^2=Q(Q-P)$ (প্রমাণিত)

$10.AC=3\cdot BC$

$\Rightarrow \frac{AC}{3}=\frac{BC}{10}$

$\Rightarrow \frac{AC}{3}=\frac{BC-AC}{10-3}$

$\Rightarrow \frac{AC}{3}=\frac{AB}{7}$

$\Rightarrow \frac{AC}{3}=\frac{a}{7}$

$\therefore AC=\frac{3a}{7}$

আবার, উভয় বলকে $x$ পরিমাণ বৃদ্ধির পর নতুন লব্ধি $D$ বিন্ধুতে কাজ করলে,

$(10+x)\cdot AD=(3+x)BD$

$\Rightarrow \frac{AD}{3+x}=\frac{BD}{10+x}$

$\Rightarrow \frac{AD}{3+x}=\frac{BD-AD}{10+x-3x}$

$\Rightarrow \frac{AD}{3+x}=\frac{AB}{7}$

$\frac{AD}{\Rightarrow }3+x=\frac{a}{7}$

$\Rightarrow AD=\frac{(3+x)a}{7}$

$\therefore DC=AD-AC$

$=\frac{(3+x)a}{7}-\frac{3a}{7}$

$=\frac{(3+x)a-3a}{7}$

$=\frac{3a+ax-3a}{7}$

$=\frac{ax}{7}$

$\therefore$ নতুন লব্ধি পুরাতন লব্ধি থেকে $\frac{ax}{7}$ দূরত্ত্বে সরে যাবে।