সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:দৃশ্যকল্প-২: f(x)=x(x+1)2(x+2)…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – যোগজীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-২ হতে,

$f\left(x\right)=\frac{x}{(x+1{)}^2(x+2)}$

ধরি,

আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর করে পাই:

$\frac{x}{(x+1{)}^2(x+2)}\equiv \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1{)}^2}+\frac{C}{x+2}\dots \dots \left(i\right)$

উভয় পক্ষকে $(x+1{)}^2(x+2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x=A(x+1)(x+2)+B(x+2)+C(x+1{)}^2\dots \dots (ii)$

সমীকরণ $\left(ii\right)$ এ $x=-2$ বসিয়ে পাই:

$-2=A\left(0\right)+B(-2+2)+C(-2+1{)}^2$

$\Rightarrow -2=C(-1{)}^2$

$\therefore C=-2$

সমীকরণ $\left(ii\right)$ এ $x=-1$ বসিয়ে পাই:

$-1=A\left(0\right)+B(-1+2)+C\left(0\right)$

$\Rightarrow -1=B\left(1\right)$

$\therefore B=-1$

এখন সমীকরণ $\left(ii\right)$ এর উভয়পক্ষจาก $x^2$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই:

$0=A+C$

$\Rightarrow A+(-2)=0$

$\therefore A=2$

$A,B,C$ এর মান সমীকরণ $\left(i\right)$ এ বসিয়ে পাই:

$f\left(x\right)=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{(x+1{)}^2}-\frac{2}{x+2}$

এখন উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে যোগজীকরণ করে পাই:

$\int f\left(x\right)dx=\int (\frac{2}{x+1}-\frac{1}{(x+1{)}^2}-\frac{2}{x+2})dx$

$=2\int \frac{1}{x+1}dx-\int (x+1{)}^{-2}dx-2\int \frac{1}{x+2}dx$

$=2\ln |x+1|-\frac{(x+1{)}^{-1}}{-1}-2\ln |x+2|+c$

$=2\ln |x+1|+\frac{1}{x+1}-2\ln |x+2|+c$

$=\frac{1}{x+1}+2\ln \left|\frac{x+1}{x+2}\right|+c$

[যেখানে $c$ হলো সমাকলন ধ্রুবক]

নির্ণেয় যোগজ: $\frac{1}{x+1}+2\ln \left|\frac{x+1}{x+2}\right|+c$

দৃশ্যকল্প-১ হতে,

পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y=x-x^2⟹x^2=x-y$

সরলরেখার সমীকরণ:চিহ্ন অনুযায়ী $y=4x$

রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য পরাবৃত্তের সমীকরণে $y$-এর মান বসাই:

$4x=x-x^2$

$\Rightarrow x^2+4x-x=0$

$\Rightarrow x^2+3x=0$

$\Rightarrow x(x+3)=0$

$\therefore x=0$ অথবা $x=-3$

যখন $x=0$, তখন $y=4\left(0\right)=0$ [ছেদবিন্দু $(0,0)$]

যখন $x=-3$, তখন $y=4(-3)=-12$ [ছেদবিন্দু $(-3,-12)$]

চিত্র হতে দেখা যায়, ছায়াবৃত্ত (বা আবদ্ধ) অঞ্চলটি $x$-অক্ষের $-3$ থেকে $0$ সীমা (${\int }_{-3}^0$) পর্যন্ত বিস্তৃত।

উপরের রেখাটি হলো $y_2=4x$ এবং নিচের বক্ররেখাটি হলো $y_1=x-x^2$।

$\therefore$ ছায়াবৃত্ত অংশের ক্ষেত্রফল $={\int }_{-3}^0(y_2-y_1)dx$

$={\int }_{-3}^0\{4x-(x-x^2\left)\right\}dx$

$={\int }_{-3}^0(4x-x+x^2)dx$

$={\int }_{-3}^0(3x+x^2)dx$

এখন ইন্টিগ্রেশন করে পাই:

$={[\frac{3x^2}{2}+\frac{x^3}{3}]}_{-3}^0$

উচ্চসীমা ও নিম্নসীমা বসিয়ে পাই:

$=(\frac{3(0{)}^2}{2}+\frac{(0{)}^3}{3})-(\frac{3(-3{)}^2}{2}+\frac{(-3{)}^3}{3})$

$=0-(\frac{3\left(9\right)}{2}-\frac{27}{3})$

$=-(\frac{27}{2}-9)$

$=-\left(\frac{27-18}{2}\right)$

$=-\left(\frac{9}{2}\right)=-\frac{9}{2}$

যেহেতু ক্ষেত্রফল কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই পরম মান ($AbsoluteValue$) নিতে হবে।

$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $=|-\frac{9}{2}|=\frac{9}{2}$ বর্গ একক বা $4.5$ বর্গ একক।