সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দৃশ্যকল্প-২: g(x)=cos…’ ফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ ২০২৫ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\mathrm{cosec}x-\cot x$

$\therefore f\left(\theta \right)=\mathrm{cosec}\theta -\cot \theta$

এখন, $f\left(\theta \right)=\frac{3}{4}$ হলে , $\mathrm{cosec}\theta -\cot \theta =\frac{3}{4}$
বা, $\frac{1}{\sin \theta }-\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{3}{4}$ বা, $\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{3}{4}$
বা, $3\sin \theta =4-4\cos \theta$
বা, $(3\sin \theta {)}^2=(4-4\cos \theta {)}^2$ [বর্গ করে]
বা, $9{\sin }^2\theta =16-32\cos \theta +16{\cos }^2\theta$
বা, $9(1-{\cos }^2\theta )=16-32\cos \theta +16{\cos }^2\theta$
বা, $9-9{\cos }^2\theta =16-32\cos \theta +16{\cos }^2\theta$
বা, $25{\cos }^2\theta -32\cos \theta +7=0$
বা, $25{\cos }^2\theta -25\cos \theta -7\cos \theta +7=0$
বা, $25\cos \theta (\cos \theta -1)-7(\cos \theta -1)=0$
বা, $(\cos \theta -1)(25\cos \theta -7)=0$

হয়, $\cos \theta -1=0$
বा, $\cos \theta =1$ 

অথবা, $25\cos \theta -7=0$
বা, $\cos \theta =\frac{7}{25}$

আমরা জানি, ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ 

$=1-\frac{49}{625}[\cos \theta =\frac{7}{25}$ বসিয়ে] 

$=\frac{625-49}{625}=\frac{576}{625}$ 

বा, ${\sin }^2\theta =\frac{576}{625}$ বा, $\sin \theta =\pm \frac{24}{25}$ 

$\therefore \theta =\pm {\sin }^{-1}\left(\frac{24}{25}\right)$ (দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\cos x$ 

এখন, $4g\left(x\right)\cdot g\left(2x\right)\cdot g\left(3x\right)=1$, যখন $0<x<\pi$
বা, $4\cos x\cos 2x\cos 3x=1$
বা, $(2\cos x\cos 3x)(2\cos 2x)=1$
বা, $(\cos 4x+\cos 2x)(2\cos 2x)=1$
বा, $2\cos 4x\cos 2x+2{\cos }^{2}2x-1=0$
বा, $2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0$
বा, $\cos 4x(2\cos 2x+1)=0$

হয়, $\cos 4x=0$
বা, $4x=(2n+1)\frac{\pi }{2}$
যেখানে $n\in Z$

$\therefore x=(2n+1)\frac{\pi }{8}$

অথবা, $2\cos 2x+1=0$
বা, $2\cos 2x=-1$
বা,$\cos 2x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$
বা, $2x=2n\pi \pm \cdot \frac{2\pi }{3}$, যেখানে $n\in Z$

$\therefore x=n\pi \pm \frac{\pi }{3}$

n=0 হলে $x=\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{3},\frac{-\pi }{3}$
n=1  হলে $x=\frac{3\pi }{8},\frac{4\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$
n=-1 হলে $x=-\frac{\pi }{8},-\frac{2\pi }{3},-\frac{4\pi }{3}$
n=2 হলে $x=\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{3},\frac{5\pi }{3}$
n=3 হলে $x=\frac{7\pi }{8},\frac{10\pi }{3},\frac{8\pi }{3}$
n=4 হলে $x=\frac{9\pi }{8},\frac{13\pi }{3},\frac{11\pi }{3}$ 

$0<x<\pi$ ব্যবধিতে   $x=\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{8},\frac{5\pi }{8},\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{8}$ 

নির্ণেয়  সমাধান : $x=\frac{\pi }{8},\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{8},\frac{5\pi }{8},\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{8}$,