সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:দৃশ্যকল্প-২: g(x)=cot⁡x.…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০১৯ – বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

বামপক্ষ $=\frac{1}{2}\varnothing +{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$=\frac{1}{2}{\cos }^{-1}\frac{5}{13}+{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$=\frac{1}{2}{\cos }^{-1}\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}+{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$=\frac{1}{2}\cdot 2{\tan }^{-1}\frac{2}{3}+{\sin }^{-1}\frac{3}{5}$

$={\tan }^{-1}\frac{2}{3}+{\tan }^{-1}\frac{3}{4}$

$={\tan }^{-1}\frac{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}}{1-\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}}$

$={\tan }^{-1}\frac{\frac{8+9}{12}}{1-\frac{1}{2}}={\tan }^{-1}\frac{\frac{17}{12}}{\frac{1}{2}}$

$={\tan }^{-1}\frac{17}{6}-{\tan }^{-1}\frac{1}{2}+{\tan }^{-1}\frac{1}{2}$

$={\tan }^{-1}\frac{\frac{17}{6}-\frac{1}{2}}{1+\frac{17}{6}\cdot \frac{1}{2}}+{\tan }^{-1}\frac{1}{2}$

$={\tan }^{-1}\frac{\frac{17-3}{6}}{1+\frac{17}{12}}+{\tan }^{-1}\frac{1}{2}$

$={\tan }^{-1}(\frac{14}{6}\times \frac{12}{29})+{\tan }^{-1}\frac{1}{2}$

$={\tan }^{-1}\frac{28}{29}+{\tan }^{-1}\frac{1}{2}$

$={\cot }^{-1}\frac{29}{28}+{\cot }^{-1}2$

$={\cot }^{-1}2+{\cot }^{-1}\frac{29}{28}=$ ডানপক্ষ

$\therefore \frac{1}{2}\varnothing +{\sin }^{-1}\frac{3}{5}={\cot }^{-1}2+{\cot }^{-1}\frac{29}{28}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=\cot x$

এবং $g(\frac{\pi }{2}-\theta )\cdot g(\frac{3\pi }{2}-2\theta )=1$

বা, $\cot (\frac{\pi }{2}-\theta )\cdot \cot (\frac{3\pi }{2}-2\theta )=1$

বা, $\tan \theta \cdot \tan 2\theta =1$

বা, $\tan \theta \cdot \frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }=1$

বা, $\frac{2{\tan }^2\theta }{1-{\tan }^2\theta }=1$

বা, $2{\tan }^2\theta =1-{\tan }^2\theta$

বা, $3{\tan }^2\theta =1$

বা, ${\tan }^2\theta =\frac{1}{3}$

বা, $\tan \theta =\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

বা, $\tan \theta =\tan (\pm \frac{\pi }{6})$

বা, $\theta =n\pi \pm \frac{\pi }{6};n\in Z$

$n=0$ হলে, $\theta =\pm \frac{\pi }{6}$

$n=1$ হলে, $\theta =\pi \pm \frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$

$0\le \theta \le \pi$ ব্যবধিতে নির্ণেয় সমাধান : $\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$.