সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দৃশ্যকল্প -২…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দেওয়া আছে, পরাবৃত্তটির শীর্ষ, A(-2,2) 

উপকেন্দ্র, $S(-6,-6)$ 

ধরি, নিয়ামকের পাদবিন্দু $Z(\alpha ,\beta )$

আবার, $Z,S$ এর মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক $A(-2,2)$ 

$\therefore \frac{\alpha -6}{2}=-2$ 

বা, $\alpha -6=-4$ 

$\therefore \alpha =2$ 

এবং $\frac{\beta -6}{2}=2$
বা, $\beta -6=4$
$\therefore \beta =10$ 

$\therefore Z$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2,10)$ 

এখন, $SZ$ রেখা অর্থাৎ অক্ষরেখার সমীকরণ, $\frac{x+6}{-6-2}=\frac{y+6}{-6-10}$
বা, $\frac{x+6}{-8}=\frac{y+6}{-16}$
বা, $x+6=\frac{y+6}{2}$
বা, $2x+12=y+6$
$\therefore 2x-y+6=0$$......\left(i\right)$
$\left(i\right)$নং রেখার উপর লখ রেখার সমীকরণ, $x+2y+k=0$$......\left(ii\right)$
$\left(ii\right)$নং রেখা $(2,10)$ বিন্দুগামী
$\therefore 2+2\left(10\right)+k=0$
বা, $k=-22$
$k$ এর মান $\left(ii\right)$নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $x+2y-22=0$; ইহাই নির্ণেয় নিয়ামকের সমীকরণ।
ধরি, পরাবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$
$\therefore$ পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $\mathrm{SP}=\mathrm{PM}$
বা, ${\mathrm{SP}}^2={\mathrm{PM}}^2$
বা, $(x+6{)}^2+(y+6{)}^2={\left|\frac{x+2y-22}{\sqrt{1+2^2}}\right|}^2$
বা, $x^2+12x+36+y^2+12y+36=\frac{1}{5}(x^2+4y^2+484$$+4xy-88y-44x)$

বা, $5x^2+5y^2+60x+60y+360=x^2+4y^2+484+4xy-88y-44x$
$\therefore 4x^2+y^2-4xy+104x+148y-124=0$
বা, $(2x-y{)}^2+104x+148y-124=0$
নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ, $(2x-y{)}^2+104x+148y-124=0$.

দেওয়া আছে, $5x^2+15x-10y-4=0$

বা, $5(x^2+3x)=10(y+\frac{2}{5})$

বা, $x^2+2\cdot x\cdot \frac{3}{2}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=2(y+\frac{2}{5})$

বা, ${(x+\frac{3}{2})}^2=2y+\frac{4}{5}+\frac{9}{4}$

বা, ${(x+\frac{3}{2})}^2=2y+\frac{61}{20}$

বা, ${(x+\frac{3}{2})}^2=4\left(\frac{1}{2}\right)(y+\frac{61}{40})$

বা, $X^2=4aY$

যেখানে, $X=x+\frac{3}{2},Y=y+\frac{61}{40}$ এবং $a=\frac{1}{2}$

শীর্ষবিন্দু $(0,0)$ অর্থাৎ , $X=0$
বা, $x+\frac{3}{2}=0$
$\therefore x=-\frac{3}{2}$

এবং $Y=0$

বা, $y+\frac{61}{40}=0$

$\therefore y=-\frac{61}{40}$

$\therefore$ শীর্ষবিন্দু $(-\frac{3}{2},-\frac{61}{40})$  

উপকেন্দ্র $(0,a)$ অর্থাৎ, $X=0$
বা, $x+\frac{3}{2}=0$

$\therefore x=-\frac{3}{2}$ 

এবং $Y=a$
বা, $y+\frac{61}{40}=\frac{1}{2}$
বা, $y=\frac{1}{2}-\frac{61}{40}=\frac{-41}{40}$ 

উপকেন্দ্র, $S(-\frac{3}{2},-\frac{41}{40})$
দিকাক্ষের সমীকরণ, $Y=-a$
বা, $y+\frac{61}{40}=-\frac{1}{2}$
বা, $y+\frac{61}{40}+\frac{1}{2}=0$
বা, $y+\frac{81}{40}=0$

$\therefore 40y+81=0$

উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $Y=a$
বা, $y+\frac{61}{40}=\frac{1}{2}$
বা, $y+\frac{61}{40}-\frac{1}{2}=0$
বা, $y+\frac{41}{40}=0$

$\therefore 40y+41=0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $(-\frac{3}{2},-\frac{61}{40})$, উপকেন্দ্র $(-\frac{3}{2},-\frac{41}{40})$, দিকাক্ষের সমীকরণ $40y+81=0$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ $40y+41=0$