সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দৃশ্যকল্প-২:…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

DEF ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র $I$ বিন্দুতে ID, IE, IF বরাবর ক্রিয়ারত যথাক্রমে P, Q, R বলসমূহ সাম্যাবস্থায় আছে। কাজেই লামির সূত্র অনুযায়ী,

$\frac{P}{\sin EIF}=\frac{Q}{\sin DIF}=\frac{R}{\sin DIE}$$.......\left(i\right)$ 

এখানে, $\angle \mathrm{DBI}=\angle \mathrm{FEI}=\frac{E}{2}$ [যেহেতু,$I$ অন্তঃকেন্দ্র] 

$\begin{array}{cc}& \angle \mathrm{EFI}=\angle \mathrm{DFI}=\frac{F}{2}\\ & \angle \mathrm{FDI}=\angle \mathrm{EDI}=\frac{D}{2}\\ & \begin{array}{cc}\therefore \angle \mathrm{EIF}& =\pi -\frac{E}{2}-\frac{F}{2}=\pi -\frac{1}{2}(E+F)\\ & =\pi -\frac{1}{2}(\pi -D)=\frac{\pi }{2}+\frac{D}{2}\end{array}\end{array}$ 
অনুরূপডাবে, $\angle \mathrm{DIE}=\frac{\pi }{2}+\frac{F}{2}$ এবং $\angle \mathrm{DIF}=\frac{\pi }{2}+\frac{E}{2}$
$\therefore$$\left(i\right)$ নং হতে, $\frac{P}{\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{D}{2})}=\frac{Q}{\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{E}{2})}=\frac{R}{\sin (\frac{\pi }{2}+\frac{F}{2})}$
বা, $\frac{P}{\cos \frac{D}{2}}=\frac{Q}{\cos \frac{E}{2}}=\frac{R}{\cos \frac{F}{2}}$ 

$\therefore P:Q:R=\cos \frac{D}{2}:\cos \frac{E}{2}:\cos \frac{F}{2}\cdot ($ প্রমাণিত $)$ 

এখানে, A ও B বিন্দুতে ক্রিয়াশীল P ও Q বলদ্বয়ের লব্ধি R; যা C বিন্দুতে ক্রিয়াশীল । 

এক্ষেত্রে, $P\cdot \mathrm{AC}=Q\cdot \mathrm{BC}$ 

বা, $\frac{AC}{BC}=\frac{Q}{P}$
বা, $\frac{\mathrm{AC}+\mathrm{BC}}{\mathrm{BC}}=\frac{Q+P}{P}$ [যোজন করে]
বা, $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{P+Q}{P}$
বা, $(P+Q)\cdot BC=P\cdot AB$

$\therefore BC=\frac{P}{P+Q}AB$ 

পরবর্তীতে P বলকে A বিন্দু হতে AD = x দূরত্বে D বিন্দুতে সরালে এর লব্ধি R ; যা C বিন্দু হতে ${\mathrm{CC}}^{\prime }=d$ দূরত্বে $C^{\prime }$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

এক্ষেত্রে, $P\cdot C^{\prime }D=Q\cdot {\mathrm{BC}}^{\prime }$ 

বা, $\frac{C^{\prime }D}{B{C}^{\prime }}=\frac{Q}{P}$
বা, $\frac{C^{\prime }D+{\mathrm{BC}}^{\prime }}{{\mathrm{BC}}^{\prime }}=\frac{Q+P}{P}$ [যোজন করে]
বা, $\frac{\mathrm{BD}}{{\mathrm{BC}}^{\prime }}=\frac{P+Q}{P}$
বা, $(P+Q)B{C}^{\prime }=P\cdot BD$
$\therefore {\mathrm{BC}}^{\prime }=\frac{P}{P+Q}\mathrm{BD}$
এখন, $d={\mathrm{CC}}^{\prime }=\mathrm{BC}-{\mathrm{BC}}^{\prime }$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{P}{P+Q}AB-\frac{P}{P+Q}BD\\ & =\frac{P}{P+Q}(AB-BD)\\ & =\frac{Px}{P+Q}[\because AB-BD=AD=x]\end{array}$ 
$\therefore d=\frac{Px}{P+Q}$. (প্রমাণিত)