সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ :দৃশ্যকল্প-২ :…’ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৪ – বৃত্ত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

ধরি, বৃত্তের সাধাণ সমীকরণ,

$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0\left(i\right)$

(i)নং $P(-4,4)$বিন্দুগামী হরে

$(-4{)}^2+y^2+2\cdot g(-4)+2\cdot f(4)+c=0$

$\Rightarrow 32-8g+8f+c=0$

$\therefore 8g-8f-c=82$ ..... (ii)

(i) নং$A(0,3)$বিন্দুগামী হলে

$0^r+3^2+2\cdot g\cdot 0+2\cdot f\cdot 3+c=0$

$\Rightarrow 9+6f+c=0$

$\therefore 6f+c=-9....\left(iii\right)$

(i) নং$B(0,7)$বিন্দু গামী হলে,

$0^2+7^2+2\cdot g\cdot 0+2\cdot f\cdot 7+c=0$

$\Rightarrow 49+14f+c=0$

$\therefore 14f+c=-49......\left(iv\right)$

(iii) - (iv) করে,

$6f+c-14f-c=-9+49$

$\Rightarrow -8f=40$

$\Rightarrow f=\frac{40}{-8}$

$\therefore f=-5$

(iii) হতে,

$6\cdot (-5)+c=-9$

$\Rightarrow c=-9-6\cdot (-5)$

$=-9+30$

= 21

(ii) নং হতে,

$8g-8(-5)-21=32$

$\Rightarrow 8g+40-21-32=0$

$\Rightarrow 8g-13=0$

$\therefore g=\frac{13}{8}$

$g,f,c$এর মান (i) নং এ বসিয়ে,

$x^2+y^2+2\cdot \frac{13}{8}\cdot x+2\cdot (-5)y+21=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+\frac{13}{4}x-10y+21=0$

$\therefore 4x^2+4y^2+13x-40y+8y=0$

[ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ]

বৃত্তদ্বয়ে সমীকরণ,

$x^2+y^2=9....\left(i\right)$

$x^2+y^2-16x+2y+40=0.....\left(ii\right)$

(ii) – (i) করে,

$x^2+y^2-16x+2y+49-x^2-y^2=0-9$

$\Rightarrow -16x+2y+49+9=0$

$\Rightarrow -16x+2y+58=0$

$\Rightarrow .-8x+y+29=0$

$\therefore 8x-y-29=0.....\left(iii\right)$

[ইহাই নিণেয় সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ]

(i) নং বৃত্ত এবং (iii) নং রেখার ছেদ বিন্দগামী যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ।

$x^2+y^2-9+k(8x-y-29)=0$

$\Rightarrow x^2+y^2+8kx-ky-29k-9=0.....\left(iv\right)$

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(\frac{8k}{-2},\frac{-ki}{-2})\equiv (-4k,k/2)$ যা (iii) নং রেখার উপর অবস্থিত।

$8\cdot (-4k)-k/2+29$

$\Rightarrow -32k-k/2-29=0$

$\Rightarrow -64k-k-58=0$

$\Rightarrow -65k-58=0$

$\Rightarrow -65k=58$

$\therefore k=\frac{-58}{65}$

k এর মান (iv) নং এ বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+8\cdot (-58/65)x-\left(58/65\right)y-29(-58/65)-9=0$

$\Rightarrow 65x^2+65y^2-464x+58y+29.58=0-9.65=0$

$\therefore 65x^2+65y^2-464x+58y+1097=0$

[ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ]