সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:দৃশ্যকল্প-2:P > Q…’ ঢাকা বোর্ড ২০২১ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

বলের সাইন ব্যবহার করে,

$\frac{S+T}{\sin \angle BOC}=\frac{S-T}{\sin \angle AOC}$

$\Rightarrow \frac{S+T}{\sin (\theta +\frac{\alpha }{2})}=\frac{S-T}{\sin (2\theta -\theta -\frac{\alpha }{2})}$

$\Rightarrow \frac{S+T}{\sin (\theta +\frac{\alpha }{2})}=\frac{S-T}{\sin (\theta -\frac{\alpha }{2})}$

$\Rightarrow \frac{S+T}{S-T}=\frac{\sin (\theta +\frac{\alpha }{2})}{\sin (\theta -\frac{\alpha }{2})}$

$\Rightarrow \frac{S+T+S-T}{S+T-S+T}=\frac{\sin (\theta +\frac{\alpha }{2})+\sin (\theta -\frac{\alpha }{2})}{\sin (\theta +\frac{\alpha }{2})-\sin (\theta -\frac{\alpha }{2})}$ [যোজন-বিয়োজন]

$\Rightarrow \frac{2S}{2T}=\frac{2\sin \theta \cos \frac{\alpha }{2}}{2\cos \theta \sin \frac{\alpha }{2}}$

$\Rightarrow \frac{S}{T}=\frac{\tan \theta }{\tan \frac{\alpha }{2}}$

$\therefore T\tan \theta =S\tan \frac{\alpha }{2}$ (প্রমাণিত)

দৃশ্যকল্প-২ হতে,

$P$ ও $Q$ বলদ্বয়ের লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল

$\therefore P.\mathrm{AC}=Q.\mathrm{BC}$

$\Rightarrow \frac{P}{Q}=\frac{BC}{AC}=\frac{CD+BD}{AC}=\frac{AC+AC}{AC}=\frac{2AC}{AC}$

$\Rightarrow \frac{P}{Q}=2$

$\therefore P:Q=2:1$

আবার, $Q.\mathrm{AD}=P.\mathrm{BD}$ হবে

$\Rightarrow \frac{P}{Q}=\frac{AD}{BD}=\frac{AC+CD}{BD}=\frac{2BD}{BD}$

$\Rightarrow \frac{P}{Q}=2$

$\therefore P:Q=2:1$ (প্রমাণিত)