সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:দৃশ্যকল্প-২:P→=2i^+2j^−k^.…’ ২০২৬ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $A(5,0)$ এবং $B(0,7)$

$\mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ,

$\frac{x-5}{5-0}=\frac{y-0}{0-7}$

বা, $\frac{x-5}{5}=\frac{y}{-7}$

বা, $-7x+35=5y$

$\therefore 7x+5y-35=0$ .......... (i)

বা, $5y=-7x+35$

বা, $y=-\frac{7}{5}+7$

$\therefore \mathrm{AB}$ রেখার ঢাল $=-\frac{7}{5}$

$(7,9)$ বিন্দুগামী যেকোনো রেখার সমীকরণ,

$y-9=m(x-7)$ ............ (ii)

রেখাটির ঢাল $=m$

$\tan {45}^{\circ }=\pm \frac{m+\frac{7}{5}}{1-m\cdot \frac{7}{5}}$

বা, $1=\pm \frac{\frac{5m+7}{5}}{\frac{5-7m}{5}}$

বা, $1=\pm \frac{5m+7}{5-7m}$

বা, $5-7m=\pm (5m+7)$

(+) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$5-7m=5m+7$

বা, $7m+5m=5-7$

বা, $12m=-2$

বা, $m=-\frac{2}{12}=-\frac{1}{6}$

$\therefore m=-\frac{1}{6}$

(-) চিহ্ন নিয়ে পাই,

$5-7m=-5m-7$

বা, $7m-5m=5+7$

বা, $2m=12$

$\therefore m=6$

m-এর মান (ii)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$m=-\frac{1}{6}$ হলে,

$y-9=-\frac{1}{6}(x-7)$

বা, $6y-54=-x+7$

বা, $x+6y-54-7=0$

$\therefore x+6y-61=0$

$m=6$ হলে,

$y-9=6(x-7)$

বা, $y-9=6x-42$

বা, $6x-y-42+9=0$

$\therefore 6x-y-33=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $x+6y-61=0,6x-y-33=0$

দেওয়া আছে, $\overrightarrow{P}=2\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$

$|\overrightarrow{P}|=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3$

$\overrightarrow{P}$ ভেক্টরটি X অক্ষের সাথে অর্থাৎ $\hat{i}$ এর সাথে $\alpha$ কোণ উৎপন্ন করলে,

$\overrightarrow{P}\cdot \hat{i}=|\overrightarrow{P}|\cdot \hat{i}\mid \cos \alpha$

বা, $2.1=3.1\cdot \cos \alpha$
বা, $\cos \alpha =\frac{2}{3}\therefore \alpha ={\cos }^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$
$\overrightarrow{P}$ ভেক্টরটি Y অক্ষের সাথে অর্থাৎ $\hat{j}$ এর সাথে $\beta$ কোণ উৎপন্ন করলে,

$\overrightarrow{P}\cdot \hat{j}=|\overrightarrow{P}|\cdot \hat{j}\mid \cos \beta$

বা, $2.1=3.1\cdot \cos \beta$
বা, $\cos \beta =\frac{2}{3}\therefore \beta ={\cos }^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$
$\overrightarrow{P}$ ভেক্টরটি Z অক্ষের সাথে অর্থাৎ $\hat{k}$ এর সাথে $\gamma$ কোণ উৎপন্ন করলে,

$\overrightarrow{P}\cdot \hat{k}=|\overrightarrow{P}||\hat{k}|\cos \gamma$

বা, $-1.1=3\cdot 1\cdot \cos \gamma$
বা, $\cos \gamma =\frac{-1}{3}\therefore \gamma ={\cos }^{-1}\left(\frac{-1}{3}\right)$.

$\overrightarrow{P}$ ভেক্টরটি অক্ষত্রয়ের সাথে উৎপন্ন কোণ যথাক্রমে

${\cos }^{-1}\left(\frac{2}{3}\right),{\cos }^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ এবং ${\cos }^{-1}\left(\frac{-1}{3}\right)$.