সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : দৃশ্যকল্প-২…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – স্থিতিবিদ্যা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

$\mathrm{OA}$ বরাবর N বল, OB বরাবর L বল ও OC বরাবর M বল ক্রিয়া করে O বিন্দুতে ভারসাম্য সৃষ্টি করে।

$\angle AOB=\alpha ,\angle BOC=2\alpha$

$\therefore \angle AOC=2\pi -(\alpha +2\alpha )=2\pi -3\alpha$

$\therefore$ লামির সূত্র হতে পাই,

$\frac{N}{\sin 2\alpha }=\frac{L}{\sin (2\pi -3\alpha )}=\frac{M}{\sin \alpha }$

$\Rightarrow \frac{N}{\sin 2\alpha }=\frac{L}{-\sin 3\alpha }=\frac{M}{\sin \alpha }$

১ম ও ৩য় অনুপাত নিয়ে পাই,

$\frac{N}{\sin 2\alpha }=\frac{M}{\sin \alpha }$

$\Rightarrow \frac{N}{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{M}{\sin \alpha }$

$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{N}{2M}\cdots \left(i\right)$

২য় ও ৩য় অনুপাত নিয়ে পাই,

$\frac{L}{-\sin 3\alpha }=\frac{M}{\sin \alpha }$

$\Rightarrow \frac{L}{M}=\frac{-3\sin \alpha +4{\sin }^3\alpha }{\sin \alpha }$

$=-3+4{\sin }^2\alpha$

$=-3+4-4{\cos }^2\alpha$

$=1-4\frac{N^2}{4M^2}$

$=1-\frac{N^2}{M^2}$

$\Rightarrow \frac{L}{M}=\frac{M^2-N^2}{M^2}$

$\Rightarrow L^2=M^2-N^2$

$\Rightarrow N^2=M^2-L^2$

$\therefore N^2=M(M-L)$ (প্রমাণিত)

মনেকরি, $AB=2I$ দৈর্ঘ্যর তক্তাটি C ও D বিন্দুতে দুটি খুটির উপর আনুভূমিকভাবে স্থাপিত যেখানে CD = d এব ওজন P যা এর মধ্যবিন্দু O তে ক্রিয়া করে।

$\therefore OA=OB=\frac{2l}{2}=l$

তক্তাটি না উল্টিয়ে A প্রান্তে P ওজন ঝুলানো যায়। তখন D বিন্দুতে চাপ শূন্য এবং A ও O তে কার্যরত ওজনের লব্ধি $(P+Q),C$ তে ক্রিয়া করে।

$\therefore Q\times AC=P\times OC$

$\Rightarrow \frac{AC}{OC}=\frac{P}{Q}$

$\Rightarrow \frac{AC+OC}{OC}=\frac{P+Q}{Q}$

$\Rightarrow OC=\frac{Q}{P+Q}AO$

$\therefore OC=\frac{Q}{P+Q}I\dots \dots \left(i\right)$

আবার, B প্রান্তে R ওজন স্থাপন করলে C বিন্দুতে চাপ শূন্য এবং O ও B তে কার্যরত ওজনের লব্ধি (P+R), D বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

$\therefore P\times OD=R\times BD$

$\Rightarrow \frac{BD}{OD}=\frac{P}{R}$

$\Rightarrow \frac{BD+OD}{OD}=\frac{P+R}{R}$

$\Rightarrow \frac{OB}{OD}=\frac{R+R}{R}$

$\therefore OD=\frac{R}{P+R}OB=\frac{R}{P+R}l......\left(ii\right)$

(i) + (ii)

$OC+OD=l(\frac{Q}{P+Q}+\frac{R}{P+R})$

$\Rightarrow \frac{Q}{P+Q}+\frac{R}{P+R}=\frac{d}{l}$ (প্রমাণিত)