সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১:দৃশ্যকল্প-২: RST ত্রিভুজে…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯ – সরলরেখা, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $A(2,1),B(-2,0)$ এবং $C(-2,-2)$

$\therefore \mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ $\frac{x-2}{2+2}=\frac{y-1}{1-0}$

বা, $x-2=4y-4$

বা, $x-4y+2=0..........\left(i\right)$

AC রেখার সমীকরণ, $\frac{x-2}{2+2}=\frac{y-1}{1+2}$

বা, $3x-6=4y-4$

বা, $3x-4y-2=0.........\left(ii\right)$

(i) ও (ii) নং রেখার মধ্যবর্তী কোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,

$\frac{x-4y+2}{\sqrt{1+16}}=\pm \frac{3x-4y-2}{\sqrt{9+16}}$

বা, $5(x-4y+2)=\pm \sqrt{17}(3x-4y-2)$

বা, $5x-20y+10=\pm (3\sqrt{17}x-4\sqrt{17}y-2\sqrt{17})$

(+) নিয়ে, $5x-20y+10-3\sqrt{17}x+4\sqrt{17}y+2\sqrt{17}=0$

বা, $(5-3\sqrt{17})x-(20-4\sqrt{17})y+10+2\sqrt{17}=0$

(-) নিয়ে, $5x-20y+10+3\sqrt{17}x-4\sqrt{17}y-2\sqrt{17}=0$

বা, $(5+3\sqrt{17})x-(20+4\sqrt{17})y+10-2\sqrt{17}=0$

নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ,

$(5-3\sqrt{17})x-\left(20\sqrt{17}\right)y+10+2\sqrt{17}=0$

এবং $(5+3\sqrt{17})x-(20+4\sqrt{17})y+10-2\sqrt{17}=0$

ধরি, $△\mathrm{ABC}$ এর পরিবৃত্তটি,

$x^2+y^2+2\mathrm{gx}+2\mathrm{fy}+c=0..........\left(iii\right)$

(iii) নং এর কেন্দ্র $(-g,-f)$

(iii) নং $A(2,1)$ বিন্দুগামী।

$4+1+4g+2f+c=0$

বা, $5+4g+2f+c=0.........\left(iv\right)$

(iii) নং $B(-2,0)$ বিন্দুগামী।

$4+0-4g+0+c=0$

বা, $4-4g+c=0.......\left(v\right)$

(iii) নং $C(-2,-2)$ বিন্দুগামী।

$\therefore 4+4-4g-4f+c=0$

বা, $8-4g-4f+c=0$

(v) নং ও (vi) নং বিয়োগ করে পাই, $-4+4f=0$

বা, $4f=4$

বা, $f=1$

(vi) নং ও (v) নং যোগ করে পাই, $9+2f+2c=0$

বা, $9+2.1+2c=0$

বা, $2c=-11$

বা, $c=\frac{-11}{2}$

(v) নং এ c $=\frac{-11}{2}$ বসিয়ে পাই,

$4-4g-\frac{11}{2}=0$

বা, $4g=4-\frac{11}{2}=\frac{-3}{2}$

বা, $g=\frac{-3}{8}$

(iii) নং এ g, f,c এর মান বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2\cdot \left(\frac{-3}{8}\right)x+2\cdot 1\cdot y-\frac{1}{2}=0$

বা, $x^2+y^2-\frac{3}{4}x+2y-\frac{11}{2}=0$

$(5,4)$ বিন্দু হতে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,

$=\sqrt{5^2+4^2-\frac{3}{4}\cdot 5+2\cdot 4-\frac{11}{2}}$

$=\sqrt{25+16-\frac{15}{4}+8-\frac{1}{2}}$

$=\sqrt{49-\frac{37}{4}}=\sqrt{\frac{159}{4}}=\frac{\sqrt{159}}{2}$ একক।

নির্ণেয় স্পর্শকের দৈর্ঘ্য $=\frac{\sqrt{159}}{2}$ একক।