সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দৃশ্যকল্প-২: sec⁡θ=m−ncos⁡φmcos⁡φ−n,m=P+Q2,n=P−Q2.…’ সিলেট বোর্ড ২০২২ – সংযুক্ত কোনের ত্রিকোনমিতিক অনুপাত, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ১ম পত্র (এইচএসসি)

$R\cdot H\cdot S=(b+c)\sin \frac{A}{2}$

$=a\cdot \frac{b+c}{a}\cdot \sin \frac{A}{2}$

$=a\cdot \frac{2R\sin B+2R\sin C}{2R\sin A}\cdot \sin \frac{A}{2}$

$=a\cdot \frac{\sin B+\sin C}{\sin A}\cdot \sin \frac{A}{2}$

$=a\cdot \frac{2\sin \frac{B+C}{2}\cdot \cos \frac{B-C}{2}}{\sin A}\cdot \sin \frac{A}{2}$

$=a\cdot \frac{2\sin \left(\frac{B-A}{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{B-C}{2}\right)}{\sin A}\cdot \sin \frac{A}{2}$

$=a\cdot \frac{2\cos \frac{A}{2}\cdot \cos \frac{B-c}{2}}{2\sin \frac{A}{2}\cdot \cos \frac{A}{2}}\cdot \sin \frac{A}{2}$

$=a\cdot \cos \frac{B-C}{2}$

$=a\cos \frac{\pi -A-B-B}{2}$

$=a\cdot \cos \{\frac{\pi }{2}-\frac{A+2B}{2}\}$

$=a\sin \left(\frac{A+2B}{2}\right)$

$=a\sin (\frac{A}{2}+B)$

$=L\cdot H\cdot S$

$\therefore (\frac{A}{2}+B)=(b+C)\sin \frac{A}{2}$

দেওয়া আছে,

$m=\frac{P+Q}{2}$

$\Rightarrow P+Q=2m.......\left(i\right)$

$n=\frac{P-Q}{2}$

$QP-Q=2n$

(i) + (ii) হতে পাই,

$P+\theta +P-Q=2m+2n$

$\Rightarrow 2p=2(m+n)$

$\Rightarrow p=m+n$

(i) – (ii) হতে পাই,

$P+Q-P+Q=2m-2n$

$\Rightarrow 2Q=2(m-n)$

$\Rightarrow Q=m-n$

দেওয়া আছে,

$\sec \theta =\frac{m-n\cos \phi }{m\cos \phi -n}$

$\Rightarrow \frac{1}{\cos \theta }=\frac{m-n\cos \phi }{m\cos \phi -n}$

$\Rightarrow m\cos \theta -n\cos \theta \cdot \cos \phi =m\cos \phi -n$

$\Rightarrow m\cos \theta -m\cos \phi =n\cos \theta \cdot \cos \phi -n$

$\Rightarrow m(\cos \theta -\cos \phi )=n(\cos \theta \cdot \cos \phi -1)$

$\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{\cos \theta \cdot \cos \phi -1}{\cos \theta -\cos \phi }$

$\Rightarrow \frac{m+n}{m-n}=\frac{\cos \theta \cdot \cos \phi -1+\cos \theta -\cos \phi }{\cos \theta \cdot \cos \phi -1-\cos \theta +\cos \phi }$ (যোজন - বিয়োজন করে)

$\Rightarrow \frac{m+n}{m-n}=\frac{\cos \theta (1+\cos \phi )-1(1+\cos \phi )}{\cos \phi (1+\cos \theta )-1(1+\cos \theta )}$

$\Rightarrow \frac{m+n}{m-n}=\frac{(1+\cos \phi )(\cos \theta -1)}{(1+\cos \theta )(\cos \phi -1)}$

$\Rightarrow \frac{m+n}{m-n}=\frac{-(1+\cos \phi )(1-\cos \theta )}{-(1+\cos \theta )(1-\cos \phi )}$

$\Rightarrow \frac{P}{Q}=\frac{2{\cos }^2\frac{\phi }{2}\cdot {\sin }^2\frac{\theta }{2}}{2{\cos }^2\frac{\theta }{2}\cdot {\sin }^2\frac{\phi }{2}}$

$\Rightarrow \frac{P}{Q}={\cot }^2\frac{\phi }{2}\cdot {\tan }^2\frac{\theta }{2}$

$\Rightarrow \frac{P}{Q}=\frac{{\tan }^2\frac{\theta }{2}}{{\tan }^2\frac{\phi }{2}}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{P}}{\sqrt{Q}}=\frac{{\tan }^2\frac{\theta }{2}}{\tan \frac{\phi }{2}}$

$\Rightarrow \tan \frac{\theta }{2}\cdot \sqrt{Q}=\tan \frac{\phi }{2}\sqrt{P}$

$\Rightarrow \frac{\tan \frac{\theta }{2}}{\sqrt{P}}=\frac{\tan \frac{\phi }{2}}{\sqrt{Q}}$ (Proved)