সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ : দৃশ্যকল্প-২…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

এখানে, $L(\frac{3}{2},4)\circlearrowleft L^{\prime }(\frac{3}{2},-4)$

$S=(\frac{\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}{2},\frac{4-4}{2})\equiv (\frac{3}{2},0)$

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ :

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

যেখানে, $a>b$ [ $\because$ বৃহৎ অক্ষ x অক্ষ]

উপকেন্দ্র ( $\pm \mathrm{ae},0)$

অর্থাৎ $(\pm \mathrm{ae},0)\equiv (\frac{3}{2},0)\therefore \pm \mathrm{ae}=\frac{3}{2}$

উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{1}{3}$ হলে,

$\pm a\times \frac{1}{3}=\frac{3}{2}$

বা, $a=\pm \frac{9}{2}$

$\therefore a^2={\left(\frac{9}{2}\right)}^2=\frac{81}{4}$

আবার, $e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}$

বা, $e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$

বা, ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1-\frac{b^2}{a^2}$

বা, $\frac{1}{9}=1-\frac{b^2}{a^2}$

বা, $\frac{b^2}{a^2}=1-\frac{1}{9}=\frac{9-1}{9}=\frac{8}{9}$

বা, $b^2=\frac{8}{9}\times a^2=\frac{8}{9}\times \frac{81}{4}=2\times 9=18$

এখন, a ও b এর মান (1)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $\frac{4x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{4x^2}{81}+\frac{y^2}{18}=1$.

প্রদত্ত কনিকটির সমীকরণ,

$4x^2-9y^2-16x+54y-101=0$

বা, $4(x^2-4x)-9(y^2-6y)-101=0$

বা, $4(x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2)-9(y^2-2\cdot y\cdot 3+3^2)-101-16+81=0$

বা, $4(x-2{)}^2-9(y-3{)}^2=36$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{9}-\frac{(y-3{)}^2}{4}=1$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{3^2}-\frac{(y-3{)}^2}{2^2}=1$; যা একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ

সমীকরণটিকে $\frac{x^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$X=x-2,Y=y-3$

$a=3$ এবং $b=2$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$

$=\sqrt{1+\frac{2^2}{3^2}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}}$

$=\sqrt{\frac{9+4}{9}}=\frac{\sqrt{13}}{3}$

উপকেন্দ্র ( $\pm \mathrm{ae},0)$

অর্থাৎ, $x=\pm \mathrm{ae}$

বা, $x-2=\pm 3\cdot x\frac{\sqrt{13}}{3}=\pm \sqrt{13}$

$\therefore x=2+\sqrt{13},2-\sqrt{13}$

এবং $Y=0$

বা, $y-3=0$

$\therefore y=3$

$\therefore$ উপকেন্দ্রদ্বয় $(2+\sqrt{13},3)$ ও $(2-\sqrt{13},3)$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রদ্বয় $(2+\sqrt{13},3),(2-\sqrt{13},3)$.