সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১: দৃশ্যকল্প-২ :…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

উপবৃত্তের একটি উপকেন্দ্র, $S(2,-1)$

উপবৃত্তের উপরস্থ একটি বিন্দু, $P(1,-2)$

উপকেন্দ্রের অনুরূপ নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $2x-y-9=0.......\left(i\right)$

উপকেন্দ্র $S$ হতে $P$ বিন্দুর দূরত্ব,

$SP=\sqrt{(2-1{)}^2+(-1-(-2){)}^2}$

$\Rightarrow SP=\sqrt{(1{)}^2+(1{)}^2}=\sqrt{2}$

আবার, $P(1,-2)$ বিন্দু হতে $\left(i\right)$ নং নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্ব,

$PM=\frac{\left|2\right(1)-(-2)-9|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}$

$\Rightarrow PM=\frac{|2+2-9|}{\sqrt{4+1}}$

$\Rightarrow PM=\frac{|-5|}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\frac{SP}{PM}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{2}{5}}$

ধরি, উপবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x,y)$।

কনিকের সংজ্ঞানুসারে,

$SP=e\cdot PM$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$S{P}^2=e^2\cdot P{M}^2$

$\Rightarrow (x-2{)}^2+(y+1{)}^2={\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right)}^2\cdot {\left(\frac{2x-y-9}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}\right)}^2$

$\Rightarrow (x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)=\frac{2}{5}\cdot \frac{(2x-y-9{)}^2}{5}$

$\Rightarrow x^2+y^2-4x+2y+5=\frac{2}{25}\cdot \left[\right(2x{)}^2+(-y{)}^2+(-9{)}^2+2\left(2x\right)(-y)+2(-y)(-9)+2(-9)\left(2x\right)]$

$\Rightarrow x^2+y^2-4x+2y+5=\frac{2}{25}(4x^2+y^2+81-4xy+18y-36x)$

$\Rightarrow 25(x^2+y^2-4x+2y+5)=8x^2+2y^2+162-8xy+36y-72x$

$\Rightarrow 25x^2+25y^2-100x+50y+125-8x^2-2y^2-162+8xy-36y+72x=0$

$\Rightarrow 17x^2+8xy+23y^2-28x+14y-37=0$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ: $17x^2+8xy+23y^2-28x+14y-37=0$

দেওয়া আছে,

$S(p,q)$ ও $S^{\prime }(r,q)$

ও$p=3,q=2\text{ ও }r=11)$ হলে, $S(p,q)=S(3,2)$

এবং $S^{\prime }(r,q)=S^{\prime }(11,2)$

$\therefore$ উপবৃত্তের কেন্দ্র $C(\frac{3+11}{2},\frac{2+2}{2})=C(7,2)$

উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রদ্ধয় ও কেন্দ্রের কোটি একই হওয়ায় এর বৃহদাক্ষ x-অক্ষের সমান্তরাল।

এখানে, ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য, $2b=q$

বা, $2b=2$ বা,$b=1$ বা, $b^2=1$

উপকেন্দ্রঘয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

${\mathrm{SS}}^{\prime }=\sqrt{(11-3{)}^2+(2-2{)}^2}=\sqrt{8^2+0}=8$ একক

বা, $2ae=8$

বা, $ae=4$

বা, $a^2{e}^2=16$

বা, $a^2\cdot \frac{a^2-b^2}{a^2}=16$

বা, $a^2-b^2=16$

বা, $a^2=b^2+16=1+16=17$

$\therefore a^2=17$

$\therefore$ বৃহৎ অক্ষ $x-$ অক্ষের সমান্তরাল ও $(7,2)$ কেন্দ্রবিশিট উপবৃত্তের

সমীকরণ, $\frac{(x-7{)}^2}{17}+\frac{(y-2{)}^2}{1}=1$ বা, $\frac{(x-7{)}^2}{17}+(y-2{)}^2=1$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{(x-7{)}^2}{17}+(y-2{)}^2=1$.