সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প-১ :দৃশ্যকল্প-২: x2−3y2−4x−8=0.…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – কনিক, উচ্চতর গণিত, উচ্চতর গণিত ২য় পত্র (এইচএসসি)

ধরি, পরাবৃত্তটির উপরস্থ $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x,y)$ যেখানে, $SP=6$ এবং $y^2=16x$ একে পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ, $y^2=4ax$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $4a=16$ বা, $a=4$

এখানে, $\mathrm{OS}=\mathrm{OZ}=a=4$

অতএব, শীর্ষবিন্দু $O(0,0)$ এবং ফোকাস $S(4,0)$. P বিন্দু থেকে অক্ষের উপর $\mathrm{PQ}$ লম্ব আঁকি।

বা, $SP=ZQ=OZ+OQ$

বা, $6=a+x=4+x$

বা, $x=6-4$

$\therefore x=2$

যেহেতু $P(x,y)$ বিন্দুটি $y^2=16x$ এর উপর অবস্থিত।

সমীকরণটিতে, $x=2$ বসিয়ে পাই,

$y^2=16\times 2=32$

$\therefore y=\pm 4\sqrt{2}$

অতএব, $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2,\pm 4\sqrt{2})$

নির্ণেয় $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(2,\pm 4\sqrt{2})$.

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই,

$x^2-3y^2-4x-8=0$

বা, $(x^2-4x)-3y^2-8=0$

বা, $(x^2-2\cdot x\cdot 2+2^2)-3y^2=8+4$

বা, $(x-2{)}^2-3y^2=12$

বা, $\frac{(x-2{)}^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$ ......... (1)

বা, $\frac{X^2}{12}-\frac{Y^2}{4}=1$ যেখানে, X = x –2, Y = y

বা, $\frac{X^2}{(2\sqrt{3}{)}^2}-\frac{Y^2}{2^2}=1$ একে অধিবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ,

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ এর সথে তুলনা করে পাই,

$a=2\sqrt{3},b=2$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{2^2}{(2\sqrt{3}{)}^2}}$

$=\sqrt{1+\frac{4}{12}}=\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{2b^2}{a}=\frac{2\times 4}{2\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$

উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,

$X=\pm ae$

বা, $x-2=\pm 2\sqrt{3}\times \frac{2}{\sqrt{3}}$

বা, $x-2=\pm 4$

$\therefore x-2=4$ অথবা, $x-2=-4$

বা, $x=4+2=6$ বা, $x=-4+2$

$\therefore x-6=0\therefore x+2=0$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $x-6=0,x+2=0$ এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $\frac{4}{\sqrt{3}}$ একক।